Innere Ableitung beim Integr. < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Mi 20.04.2005 | | Autor: | mannyk |
Hallo!
Ich habe eine Frage zum einfachen integrieren.
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {3 * sin(x) dx} = - 3 * cos(x) + c
aber:
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {sin(3x) dx} = - ( cos(3x) / 3 ) + c
Beim zweiteren Beispiel wird also noch durch 3 dividiert, aufgrund der inneren Ableitung.
Kann mir jemand dies genauer Erklären? Wann kommt die innere Ableitung zum Einsatz? Kann mir jemand dies villeicht verallgemeinert darstellen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank für eure Hilfe,
manuel
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Hallo Manuel!
Ich versuchs mal ...
Also prinzipiell kommt die innere Ableitung immer zum Einsatz, aber manchmal sieht man das nicht, weil sie einfach den Faktor 1 darstellt.
Mal an deinem Beispiel:
[mm]\integral {3*sin(x) dx}[/mm]
Wie schon richtig erkannt, lautet eine mögliche Stammfunktion -3*cos(x). Wenn du jetzt diesen Term ableiten würdest, würdest du ja wie folgt vorgehen:
-3*(cos(x))'*(x)'
Also damit meine ich: Du leitest erst die äußere Funktion ab, also cos(x), und multiplizierst dann mit der Ableitung der inneren Funktion, in diesem Fall also die Ableitung von x, und das ist ja genau 1.
Genau genommen lautet die Ableitung von -3*cos(x) also -3*(-sin(x))*1.
Und durch diesen letzten Faktor wird beim Ermitteln der Stammfunktion normalerweise geteilt. Da es sich hier aber um eine 1 handelt, schreibt man das einfach nicht hin, weil es keinen Unterschied macht.
Wenn du so möchtest, wäre eine Lösung deines Integrals also -3*cos(x)/1.
Hilft dir das weiter?
Viele Grüße
Katinka
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Hallo Manuel,
ist Dir denn eigentlich klar, wie sich aus bekanntem $F(x)$, $F(x) = [mm] \int f(x)\text{dx}$
[/mm]
[mm] $\int [/mm] f(a*x + [mm] b)\text{dx}$ [/mm] ergibt?
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