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| Aufgabe | | Die Inklusion einer Untergruppe [mm] $H\to [/mm] G$ ist ein Monomorphismus. |
Es ist doch deshalb injektiv, weil [mm] H\subset [/mm] G gilt, dass jedes Element [mm] $h\in [/mm] H$ ebenfalls Element aus G ist.
Also wäre die Inklusion
[mm] $f:H\to [/mm] G$
[mm] $h\mapsto [/mm] h$
oder?
Wäre die Inklusion ein Isomorphismus, dann wäre doch $H=G$, oder??
DANKE
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Mo 14.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die Inklusion einer Untergruppe [mm]H\to G[/mm] ist ein
> Monomorphismus.
> Es ist doch deshalb injektiv, weil [mm]H\subset[/mm] G gilt, dass
> jedes Element [mm]h\in H[/mm] ebenfalls Element aus G ist.
nein, das ist keine Begründung. sei f diese Inklusion. Was ist der kern von f ?
>
> Also wäre die Inklusion
>
> [mm]f:H\to G[/mm]
> [mm]h\mapsto h[/mm]
>
> oder?
Ja
>
> Wäre die Inklusion ein Isomorphismus, dann wäre doch [mm]H=G[/mm],
> oder??
Ja
FRED
>
>
> DANKE
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> > Die Inklusion einer Untergruppe [mm]H\to G[/mm] ist ein
> > Monomorphismus.
> > Es ist doch deshalb injektiv, weil [mm]H\subset[/mm] G gilt,
> dass
> > jedes Element [mm]h\in H[/mm] ebenfalls Element aus G ist.
>
> nein, das ist keine Begründung. sei f diese Inklusion. Was
> ist der kern von f ?
ker [mm] f=\{h\in H| f(h)=e_G\}
[/mm]
Da wir uns in einer Gruppe befinden existiert nur ein neutrales Element in G.
Also ist Ker [mm] f=e_G
[/mm]
Nach einer Definition ist ein Gruppenhomomorphismus genau dann injektiv, wenn Ker [mm] f=e_G.
[/mm]
Stimmt das so?
> >
> > Also wäre die Inklusion
> >
> > [mm]f:H\to G[/mm]
> > [mm]h\mapsto h[/mm]
> >
> > oder?
>
> Ja
>
>
> >
> > Wäre die Inklusion ein Isomorphismus, dann wäre doch [mm]H=G[/mm],
> > oder??
>
> Ja
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> FRED
> >
> >
> > DANKE
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Mo 14.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Die Inklusion einer Untergruppe [mm]H\to G[/mm] ist ein
> > > Monomorphismus.
> > > Es ist doch deshalb injektiv, weil [mm]H\subset[/mm] G gilt,
> > dass
> > > jedes Element [mm]h\in H[/mm] ebenfalls Element aus G ist.
> >
> > nein, das ist keine Begründung. sei f diese Inklusion. Was
> > ist der kern von f ?
>
> ker [mm]f=\{h\in H| f(h)=e_G\}[/mm]
>
> Da wir uns in einer Gruppe befinden existiert nur ein
> neutrales Element in G.
> Also ist Ker [mm]f=e_G[/mm]
>
> Nach einer Definition ist ein Gruppenhomomorphismus genau
> dann injektiv, wenn Ker [mm]f=e_G.[/mm]
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> Stimmt das so?
Ja
FRED
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> > >
> > > Also wäre die Inklusion
> > >
> > > [mm]f:H\to G[/mm]
> > > [mm]h\mapsto h[/mm]
> > >
> > > oder?
> >
> > Ja
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> > > Wäre die Inklusion ein Isomorphismus, dann wäre doch [mm]H=G[/mm],
> > > oder??
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> > Ja
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> > FRED
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> > > DANKE
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