Injetivität Z x Z -> Z x Z < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Moin moin,
nachdem ich mit jetzt die Injektivität und ihren Tücken aneigenen durfte Frage ich mich gerade wie ich bei Funktionen nach dem Muster:
[mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ \to \IZ [/mm] x [mm] \IZ
[/mm]
vorgehen, also angenommen ich versuche Injektivität für
f(a, b) = (ab, (a-1)*(b-1) nachzuweisen.
ich würde versuchen für [mm] (a_{1}, b_{1}), (a_{2}, b_{2}) \in \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] nachzuweisen das
[mm] f(a_{1}, b_{1}) [/mm] = [mm] f(a_{2}, b_{2})
[/mm]
was zu
[mm] (a_{1}b_{1}, (a_{1}-1)*(b_{1}-1)) [/mm] = [mm] (a_{2}b_{2}, (a_{2}-1)*(b_{2}-1))
[/mm]
führen würden, in meinem jungendlichen überschwang würde ich dann versuchen für
[mm] (a_{1}b_{1} [/mm] = [mm] (a_{2}b_{2}
[/mm]
und
[mm] (a_{1}-1)*(b_{1}-1) [/mm] = [mm] (a_{2}-1)*(b_{2}-1)
[/mm]
die Injektivität zu beweisen, aber ich sehe wohl den Wald vor Bäumen nicht.
Wie gehe ich z.B. bei [mm] (a_{1}-1)*(b_{1}-1) [/mm] = [mm] (a_{2}-1)*(b_{2}-1) [/mm] vor?
Gehe ich richtig in der Annahme das es reicht wenn entweder [mm] (a_{1}-1)*(b_{1}-1) [/mm] = [mm] (a_{2}-1)*(b_{2}-1) [/mm] oder [mm] (a_{1}b_{1} [/mm] = [mm] (a_{2}b_{2} [/mm] injektiv sind?
Würde mich freuen wenn mir jemand auf die Sprünge helfen kann.
Gruß,
Pelle
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Mi 02.11.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Pelle!
> nachdem ich mit jetzt die Injektivität und ihren Tücken
> aneigenen durfte Frage ich mich gerade wie ich bei
> Funktionen nach dem Muster:
>
> [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IZ \to \IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm]
>
> vorgehen, also angenommen ich versuche Injektivität für
>
> f(a, b) = (ab, (a-1)*(b-1) nachzuweisen.
>
> ich würde versuchen für [mm](a_{1}, b_{1}), (a_{2}, b_{2}) \in \IZ[/mm]
> x [mm]\IZ[/mm] nachzuweisen das
>
> [mm]f(a_{1}, b_{1})[/mm] = [mm]f(a_{2}, b_{2})[/mm]
>
> was zu
>
> [mm](a_{1}b_{1}, (a_{1}-1)*(b_{1}-1))[/mm] = [mm](a_{2}b_{2}, (a_{2}-1)*(b_{2}-1))[/mm]
>
> führen würden, in meinem jungendlichen überschwang würde
> ich dann versuchen für
>
> [mm](a_{1}b_{1}[/mm] = [mm](a_{2}b_{2}[/mm]
>
> und
>
> [mm](a_{1}-1)*(b_{1}-1)[/mm] = [mm](a_{2}-1)*(b_{2}-1)[/mm]
>
>
> die Injektivität zu beweisen
Rein theoretisch müsstest du die Injektivität aus beiden Gleichheiten zusammen folgern, sprich du musst die Gleichungen kombinieren und daraus folgern dass [mm] $a_1=a_2$ [/mm] und [mm] $b_1=b_2$, [/mm] denn dann ist [mm] $(a_1,b_1)=(a_2,b_2)$.
[/mm]
Allerdings, ist das bei dieser Funktion alles vergebene Mühe, denn sie ist nicht injektiv... Schau dir mal $f(1,-1)$ und $f(-1,1)$ an 
Gruß taura
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Hallo,
danke für die prompte Antwort.
Ok mein Beispiel war blöd gewählt (sowas sagt sonst nur unser Tutor  )
sagen wir also ich habe
[mm] a_{1} [/mm] + [mm] b_{1} [/mm] = [mm] a_{2} [/mm] + [mm] b_{2}
[/mm]
um nachzuweisen das sie injektiv ist (ob mann das sieht ist mir jetzt egal es geht mir ums vorgehen) muss ich also nachweisen das
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] a_{2}
[/mm]
und
[mm] b_{1} [/mm] = [mm] b_{2}
[/mm]
sind. Hierzu muss ich also [mm] a_{1} [/mm] + [mm] b_{1} [/mm] = [mm] a_{2} [/mm] + [mm] b_{2} [/mm] irgendwie aufspalten und hier liegt der Punkt: Wie geht man bei sowas generell vor?
Danke und Gruß,
Pelle
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ein allgemeines Vorgehen gibt es hier nicht. Ich will es aber mal an einem ähnlichen Beispiel wie deinem ersten (das aber funktioniert ) zeigen:
Die Funktion
$f: [mm] \begin{array}{ccc} \IZ \times \IZ & \to & \IZ \times \IZ \\[5pt] (x,y) & \mapsto & (x+y,5x-7) \end{array}$
[/mm]
ist injektiv.
Beweis:
Aus [mm] $f(x_1,y_1) [/mm] = [mm] f(x_2,y_2)$ [/mm] folgt:
(1) [mm] $x_1+y_1 [/mm] = [mm] x_2+y_2$
[/mm]
und
(2) [mm] $5x_1-7 [/mm] = [mm] 5x_2-7$.
[/mm]
Aus (2) kann man nun folgern:
[mm] $x_1=x_2$.
[/mm]
Setzt man dies in (1) ein, so erhält man auch [mm] $y_1=y_2$, [/mm] also:
[mm] $(x_1,y_1) [/mm] = [mm] (x_2,y_2)$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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