Injektivität von Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Sa 12.11.2011 | | Autor: | adamkon |
| Aufgabe | Hallo,
zeigen sie dass folgende bedingunen für die Abbildung f: M [mm] \to [/mm] N gleichwertig sind (2 richtungen):
1. f ist injektiv
2. für zwei teilmengen M1, M2 [mm] \subset [/mm] M gilt
f(M1) [mm] \cap [/mm] f(M2) = f (M1 [mm] \cap [/mm] M2) |
Hallo, also ich habe den Beweis so angesetzt:
Injektivität: f(x) = f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] x =y (*)
f(x) [mm] \in [/mm] f(M1) [mm] \cap [/mm] f(y) [mm] \in [/mm] f(M1) [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] f(M1) [mm] \wedge [/mm] f(y) [mm] \in [/mm] f(M2) [mm] \Rightarrow [/mm] (*) f(x) [mm] \in [/mm] f(M1) [mm] \wedge [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] f(M2) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M1 [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] M2 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M1 [mm] \wedge [/mm] M2 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (M1 [mm] \cap [/mm] M2) [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] f(M1 [mm] \cap [/mm] M2)
Irgendwie ist das falsch glaub ich. Könnt ihr mir helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Hallo,
> zeigen sie dass folgende bedingunen für die Abbildung f:
> M [mm]\to[/mm] N gleichwertig sind (2 richtungen):
> 1. f ist injektiv
> 2. für zwei teilmengen M1, M2 [mm]\subset[/mm] M gilt
> f(M1) [mm]\cap[/mm] f(M2) = f (M1 [mm]\cap[/mm] M2)
> Hallo, also ich habe den Beweis so angesetzt:
>
> Injektivität: f(x) = f(y) [mm]\Rightarrow[/mm] x =y (*)
>
> f(x) [mm]\in[/mm] f(M1) [mm]\cap[/mm] f(y) [mm]\in[/mm] f(M1) [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) [mm]\in[/mm]
> f(M1) [mm]\wedge[/mm] f(y) [mm]\in[/mm] f(M2) [mm]\Rightarrow[/mm] (*) f(x) [mm]\in[/mm] f(M1)
> [mm]\wedge[/mm] f(x) [mm]\in[/mm] f(M2) [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] M1 [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] M2
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] M1 [mm]\wedge[/mm] M2 [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] (M1 [mm]\cap[/mm]
> M2) [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) [mm]\in[/mm] f(M1 [mm]\cap[/mm] M2)
>
> Irgendwie ist das falsch glaub ich. Könnt ihr mir helfen?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wichtig ist erstmal, daß man genau aufschreibt, was man gerade beweisen möchte.
Du möchtest "1. ==> 2." zeigen.
Voraussetzung:
f ist injektiv, dh.
f(x) = f(y) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] x =y
zu zeigen:
für [mm] M_1, M_2 $\subset$ [/mm] M gilt
f(M1) [mm] $\cap$ [/mm] f(M2) = f (M1 [mm] $\cap$ [/mm] M2),dh.
i. [mm] f(M_1) $\cap$ f(M_2) \subseteq [/mm] f [mm] (M_1 $\cap$ M_2)
[/mm]
ii. f [mm] (M_1 $\cap$ M_2) \subseteq f(M_1) $\cap$ f(M_2)
[/mm]
Beweis:
i.:
Sei [mm] y\in f(M_1) $\cap$ f(M_2)
[/mm]
==>
[mm] y\in f(M_1) [/mm] und [mm] y\in f(M_2)
[/mm]
==>
es gibt ein [mm] x_1\in M_1 [/mm] und ein [mm] x_2\in M_2 [/mm] mit
[mm] f(x_1)=y=f(x_2)
[/mm]
==>
???
Also ist [mm] x_1\in [/mm] ..., und es ist [mm] y=f(x_1)\in [/mm] ...
Dann noch ii.
Anschließend ist "2. ==> 1." zu zeigen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 So 13.11.2011 | | Autor: | adamkon |
Hallo,
das y aus der Bedingung: f ist injektiv müsste eigentlich x2 heißen oder? also wenn man nach dem geht was darauffolgend geschrieben wurde..
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Hallo adamkon,
> Hallo,
>
> das y aus der Bedingung: f ist injektiv müsste eigentlich
> x2 heißen oder? also wenn man nach dem geht was
> darauffolgend geschrieben wurde..
Nein, warum meinst du das konkret?
Gib mal genau die Stelle an, die dir suspekt erscheint.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 So 13.11.2011 | | Autor: | adamkon |
>
> Hallo,
>
> .
>
> Wichtig ist erstmal, daß man genau aufschreibt, was man
> gerade beweisen möchte.
>
> Du möchtest "1. ==> 2." zeigen.
>
> Voraussetzung:
> f ist injektiv, dh.
> f(x) = f(y) [mm]\Rightarrow[/mm] x =y
Hier ist y Element der Definitionsmenge. Würde dann schreiben f(x1) = f(x2) ==> x1=x2
>
> zu zeigen:
> für [mm]M_1, M_2[/mm] [mm]\subset[/mm] M gilt
> f(M1) [mm]\cap[/mm] f(M2) = f (M1 [mm]\cap[/mm] M2),dh.
>
> i. [mm]f(M_1)[/mm] [mm]\cap[/mm] [mm]f(M_2) \subseteq[/mm] f [mm](M_1[/mm] [mm]\cap[/mm] [mm]M_2)[/mm]
> ii. f [mm](M_1[/mm] [mm]\cap[/mm] [mm]M_2) \subseteq f(M_1)[/mm] [mm]\cap[/mm] [mm]f(M_2)[/mm]
>
> Beweis:
> i.:
> Sei [mm]y\in f(M_1)[/mm] [mm]\cap[/mm] [mm]f(M_2)[/mm]
Weil hier ist y dann Element der Wertemenge.
> ==>
> [mm]y\in f(M_1)[/mm] und [mm]y\in f(M_2)[/mm]
> ==>
> es gibt ein [mm]x_1\in M_1[/mm] und ein [mm]x_2\in M_2[/mm] mit
> [mm]f(x_1)=y=f(x_2)[/mm]
> ==>
> ???
> Also ist [mm]x_1\in[/mm] ..., und es ist [mm]y=f(x_1)\in[/mm] ...
>
> Dann noch ii.
>
> Anschließend ist "2. ==> 1." zu zeigen.
>
> Gruß v. Angela
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 So 13.11.2011 | | Autor: | adamkon |
also ich würd dann so weiter machen
f(x1) = y = f(x2)
==> f(x1) [mm] \in [/mm] f(M1) [mm] \wedge [/mm] f(x2) [mm] \in [/mm] f(M2)
==> x1 [mm] \in [/mm] M1 [mm] \wedge [/mm] x2 [mm] \in [/mm] M2
==> aus x1 =x2 folgt
==> x1 [mm] \in [/mm] M1 [mm] \wedge [/mm] x1 [mm] \in [/mm] M2
==> x1 [mm] \in [/mm] (M1 [mm] \cap [/mm] M2)
==> y [mm] \in [/mm] f(M1 [mm] \cap [/mm] M2)
ii ist doch dann automatishc bewiesen wenn ich äquivalenzpfeile setzen kann, oder?
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> also ich würd dann so weiter machen
Hallo,
in solchen Situationen ist es ganz angebracht, den Anfang mitzuposten, weil es die Übersicht beim Korrigieren sehr erleichtert.
Im Gegensatz zu Dir haben Deine Helfer den Text nämlich nicht auf Papier vor Augen.
>
> f(x1) = y = f(x2)
> ==> f(x1) [mm]\in[/mm] f(M1) [mm]\wedge[/mm] f(x2) [mm]\in[/mm] f(M2)
> ==> x1 [mm]\in[/mm] M1 [mm]\wedge[/mm] x2 [mm]\in[/mm] M2
Wegen der Injektivität folgt [mm] x_1=x_2.
[/mm]
> ==> aus x1 =x2 folgt
> ==> x1 [mm]\in[/mm] M1 [mm]\wedge[/mm] x1 [mm]\in[/mm] M2
> ==> x1 [mm]\in[/mm] (M1 [mm]\cap[/mm] M2)
> ==> y [mm]\in[/mm] f(M1 [mm]\cap[/mm] M2)
> ii ist doch dann automatishc bewiesen wenn ich
> äquivalenzpfeile setzen kann, oder?
Prinzipiell schon. Aber prüfe genau, ob man Äquivalenzpfeile setzen darf.
Ich find den neuen Aufschrieb normalerweise besser.
Wenn Du dabei feststellst, daß sich wirklich alles einfach umdreht, kannst Du in der Reinschrift ja immer noch Äquivalenzpfeile setzen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 So 13.11.2011 | | Autor: | adamkon |
Vielen, vielen Dank.
Wie setzt ich nun die Richtung aus 2. folgt 1. an?
Da habe ich gar keinen ansatz!
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Hallo,
auch in dieser Richtung beginnt es damit, daß Du die Voraussetzung notierst und das, was Du zeigen möchtest.
Tip für den Beweis: die Mengen [mm] M_1, M_2 [/mm] dürfen auch einelementig sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 So 13.11.2011 | | Autor: | adamkon |
Also die Vorraussetzungen sind:
1. f(M1) [mm] \cap [/mm] f(M2) = f (M1 [mm] \cap [/mm] M2)
2. f (M1 [mm] \cap [/mm] M2) = f(M1) [mm] \cap [/mm] f(M2)
Zu zeigen:
f(x1) = f(x2) ==> x1 = x2
Mein Ansatz:
f(x1) [mm] \in [/mm] f(M1) [mm] \wedge [/mm] f(x2) [mm] \in [/mm] f(M2) = f(x) [mm] \in [/mm] (f(M1) [mm] \wedge [/mm] f(M2))
==> f(x1) [mm] \in [/mm] f(M1) [mm] \wedge [/mm] f(x2) [mm] \in [/mm] f(M2) = f(x) [mm] \in [/mm] f(M1) [mm] \wedge [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] f(M2)
setze f(x1) = f(x2)
==> f(x1) [mm] \in [/mm] f(M1) [mm] \wedge [/mm] f(x1) [mm] \in [/mm] f(M2) = f(x) [mm] \in [/mm] (f(M1) [mm] \wedge [/mm] f(M2))
???
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Hallo,
> Also die Vorraussetzungen sind:
>
> 1. f(M1) [mm]\cap[/mm] f(M2) = f (M1 [mm]\cap[/mm] M2) (*)
> 2. f (M1 [mm]\cap[/mm] M2) = f(M1) [mm]\cap[/mm] f(M2)
Da steht ja zweimal dasselbe! Wieso hast du das doppelt aufgeschrieben?
> Zu zeigen:
>
> f(x1) = f(x2) ==> x1 = x2
Genau.
> Mein Ansatz:
>
> f(x1) [mm]\in[/mm] f(M1) [mm]\wedge[/mm] f(x2) [mm]\in[/mm] f(M2) = f(x) [mm]\in[/mm] (f(M1)
> [mm]\wedge[/mm] f(M2))
>
> ==> f(x1) [mm]\in[/mm] f(M1) [mm]\wedge[/mm] f(x2) [mm]\in[/mm] f(M2) = f(x) [mm]\in[/mm]
> f(M1) [mm]\wedge[/mm] f(x) [mm]\in[/mm] f(M2)
>
> setze f(x1) = f(x2)
>
> ==> f(x1) [mm]\in[/mm] f(M1) [mm]\wedge[/mm] f(x1) [mm]\in[/mm] f(M2) = f(x) [mm]\in[/mm]
> (f(M1) [mm]\wedge[/mm] f(M2))
>
> ???
Mit den ??? stimme ich dir zu. Du musst doch zunächst einmal hinschreiben, was die Mengen M1 und M2 sein sollen. Du hast jetzt als Voraussetzung, dass für beliebige Mengen M1 und M2 die Aussage (*) gilt. Beginne doch zunächst so:
Seien [mm] $x_1,x_2\in [/mm] M$ mit [mm] $f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2)$.
[/mm]
Jetzt kannst du ja definieren: [mm] $M_{1} [/mm] = [mm] \{x_1\}, M_2 [/mm] = [mm] \{x_2\}$.
[/mm]
Jetzt schreib' mal hin, was dann die Aussage (*) besagt:
...
(Benutze danach noch, dass [mm] $f(\emptyset) [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] gilt!)
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 So 13.11.2011 | | Autor: | adamkon |
oder:
Also die Vorraussetzungen sind:
1. f(M1) [mm] \cap [/mm] f(M2) = f (M1 [mm] \cap [/mm] M2)
2. f (M1 [mm] \cap [/mm] M2) = f(M1) [mm] \cap [/mm] f(M2)
Zu zeigen:
f(x1) = f(x2) ==> x1 = x2
Mein Ansatz:
f(x1) [mm] \in [/mm] f(M1) [mm] \wedge [/mm] f(x1) [mm] \in [/mm] f(M2) = f(x2) [mm] \in [/mm] (f(M1) [mm] \wedge [/mm] f(M2))
==> f(x1) [mm] \in [/mm] f(M1) [mm] \wedge [/mm] f(x1) [mm] \in [/mm] f(M2) = f(x2) [mm] \in [/mm] f(M1) [mm] \wedge [/mm] f(x1) [mm] \in [/mm] f(M2)
==> x1 [mm] \in [/mm] M1 [mm] \wedge [/mm] x1 [mm] \in [/mm] M2 = x2 [mm] \in [/mm] M1 [mm] \wedge [/mm] x2 [mm] \in [/mm] M2
==> x1 [mm] \in [/mm] (M1 [mm] \cap [/mm] M2) = x2 [mm] \in [/mm] (M1 [mm] \cap [/mm] M2)
==> x1 = x2
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Hallo,
> oder:
> Also die Vorraussetzungen sind:
Für's Leben: Voraussetzung schreibt man mit einem "r" !!
> 1. f(M1) [mm]\cap[/mm] f(M2) = f (M1 [mm]\cap[/mm] M2)
> 2. f (M1 [mm]\cap[/mm] M2) = f(M1) [mm]\cap[/mm] f(M2)
siehe meine andere Antwort. Hier steht zweimal dasselbe.
> Zu zeigen:
>
> f(x1) = f(x2) ==> x1 = x2
Ja.
> Mein Ansatz:
>
> f(x1) [mm]\in[/mm] f(M1) [mm]\wedge[/mm] f(x1) [mm]\in[/mm] f(M2) = f(x2) [mm]\in[/mm] (f(M1)
> [mm]\wedge[/mm] f(M2))
Wie definierst du M1 und M2? Das sehe ich hier nicht.
> ==> f(x1) [mm]\in[/mm] f(M1) [mm]\wedge[/mm] f(x1) [mm]\in[/mm] f(M2) = f(x2) [mm]\in[/mm]
> f(M1) [mm]\wedge[/mm] f(x1) [mm]\in[/mm] f(M2)
>
>
> ==> x1 [mm]\in[/mm] M1 [mm]\wedge[/mm] x1 [mm]\in[/mm] M2 = x2 [mm]\in[/mm] M1 [mm]\wedge[/mm] x2 [mm]\in[/mm]
> M2
>
> ==> x1 [mm]\in[/mm] (M1 [mm]\cap[/mm] M2) = x2 [mm]\in[/mm] (M1 [mm]\cap[/mm] M2)
Du schreibst hier, dass Elemente gleich Mengen sind! Das geht doch gar nicht...
Grüße,
Stefan
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