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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 So 26.10.2008 | | Autor: | L5er |
| Aufgabe | Es seien $ f(x): A [mm] \to [/mm] B $, $g(x):B [mm] \to [/mm] C $ Abbildungen.
Angenommen, $ g [mm] \circ [/mm] f $ ist injektiv. Muss dann auch f und/oder g injektiv sein? |
Hallo liebe Leute,
das Thema Injektivität/Surjektivität lässt mich nicht mehr los 
Ich habe zu obiger Aufgabe zwei Ansätze, die sich widersprechen. Vielleicht könnt Ihr meine Verwirrung etwas lichten:
Es gibt bei dieser Aufgabe grundsätzlich 3 Fälle zu betrachten. Ich beschränke mich hier aber zunächst auf diesen:
f ist injektiv, g ist nicht injektiv
Ansatz 1:
Eine Funktion ist injektiv, wenn [mm] x_{1}\not= x_{2} \Rightarrow f(x_{1})\not= f(x_{2}).
[/mm]
Das heißt in diesem Fall:
Da f injektiv ist, folgt: [mm] x_{1}\not= x_{2} \Rightarrow f(x_{1})\not= f(x_{2}).
[/mm]
Da g nicht injektiv ist, folgt: [mm] f(x_{1})\not= f(x_{2}) \Rightarrow g(f(x_{1}))= g(f(x_{2})).
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Somit wäre $ g [mm] \circ [/mm] f $ nicht injektiv.
Ansatz 2:
Eine Funktion ist injektiv, wenn $ [mm] f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$.
[/mm]
Das heißt in diesem Fall:
Da g nicht injektiv ist, folgt: [mm] $g(f(x_{1})=g(f(x_{2})\Rightarrow f(x_{1})\not=f(x_{2}) [/mm] $.
Da f injektiv ist, folgt: [mm] $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$.
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Somit wäre $ g [mm] \circ [/mm] f $ injektiv.
Im Moment zweifle ich, ob überhaupt einer der beiden Ansätze richtig ist. Kann mir bitte jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien [mm]f(x): A \to B [/mm], [mm]g(x):B \to C[/mm] Abbildungen.
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> Angenommen, [mm]g \circ f[/mm] ist injektiv. Muss dann auch f
> und/oder g injektiv sein?
Hallo,
es geht hierbei darum, daß Du beweisen bzw. widerlegen sollst, folgende Aussagen gelten.
1. g [mm] \circ [/mm] f[/mm] ist injektiv ==> f ist injektiv
2. g [mm] \circ [/mm] f[/mm] ist injektiv ==> g ist injektiv
Sowas funktioniert am besten, wenn einem vorher klar ist, ob man beweisen oder widerlegen möchte.
Beweisen tut man dann mit - einem Beweis.
Widerlegen tut man mit einem Gegenbeispiel.
Ich verrate Dir jetzt mal, daß Aussage 2 nicht stimmt.
Such ein Gegenbeispiel.
Du mußt hier zwei Funktionen g,f finden, deren Verkettung injektiv ist, und wo g nicht injektiv ist.
Man kann sich bei diesen Aufgaben gut mit einer Skizze mit Pünktchen und Pfeilen vortasten.
Zu (1) diese Aussage gilt.
Voraussetzung: g [mm] \circ [/mm] f[/mm] ist injektiv , d.h.
g [mm] \circ f(x_1)= [/mm] g [mm] \circ f(x_2) [/mm] ==> [mm] x_1=x_2
[/mm]
Zu zeigen: f ist injektiv, dh.
[mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] ==> [mm] x_1=x_2
[/mm]
Beweis:
Sei
[mm] f(x_1)=f(x_2).
[/mm]
Nun laß mal g darauf los.
Verwende anschließend die Injektivität von [mm] g\circ [/mm] f.
Damit bist Du dann schon fertig.
Zu Deinen eigenen Ansätzen eine Anmerkung:nicht injektiv ist, bedeutet das folgendes:
Es gibt (mindestens) zwei [mm] x_1, x_2 [/mm] aus X, welche verschieden sind, aber denselben Funktionswert haben, für welche also [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] gilt.
Keinesfalls bedeutet das aber, daß aus [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] stets [mm] x_1\not=x_2 [/mm] folgt,
oder
daß aus [mm] x_1\not=x_2 [/mm] stets [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] folgt.
Gruß v. Angela
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