Injektivität komplexe Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Blaubart |
| Aufgabe | Als Zweige der Wurzelfunktion und der Logarithmusfunktion zum Schnitt [mm] r_{-\pi} [/mm] verwenden wir in dieser Aufgabe
[mm] \wurzel{z} [/mm] = [mm] \wurzel{|z|}e^{iphi/2}
[/mm]
ln z = ln |z| + iφ
für [mm] z=|z|e^{iphi}mit [/mm] −π<φ<π.
Zeigen Sie, dass die Funktion
g:M [mm] \to\IC, g(z)=ln(z+\wurzel{z^{2} +1})
[/mm]
auf dem Gebiet M [mm] =\IC [/mm] \ {iy | y ∈ R, |y| ≥ 1} wohldefiniert und injektiv ist. |
Ich hab leider keine Ahnung wie ich an die Aufgabe ran gehen soll. Es wäre aber schonmal gut zu wissen was wohldefiniert überhaupt genau bedeutet. Bin für jede Hilfe dankbar.
Gruß blaubart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Mo 17.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Als Zweige der Wurzelfunktion und der Logarithmusfunktion
> zum Schnitt [mm]r_{-\pi}[/mm] verwenden wir in dieser Aufgabe
> [mm]\wurzel{z}[/mm] = [mm]\wurzel{|z|}e^{iphi/2}[/mm]
> ln z = ln |z| + iφ
> für [mm]z=|z|e^{iphi}mit[/mm] −π<φ<π.
>
> Zeigen Sie, dass die Funktion
> g:M [mm]\to\IC, g(z)=ln(z+\wurzel{z^{2} +1})[/mm]
> auf dem Gebiet M
> [mm]=\IC[/mm] \ {iy | y ∈ R, |y| ≥ 1} wohldefiniert und injektiv
> ist.
>
> Ich hab leider keine Ahnung wie ich an die Aufgabe ran
> gehen soll. Es wäre aber schonmal gut zu wissen was
> wohldefiniert überhaupt genau bedeutet.
das bedeutet: für z [mm] \in [/mm] M ist der Logarithmus von [mm] z+\wurzel{z^{2} +1} [/mm] eindeutig definiert.
Wie habt Ihr den Schnitt $ [mm] r_{-\pi} [/mm] $ definiert ?
FRED
> Bin für jede
> Hilfe dankbar.
>
> Gruß blaubart
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