Injektivität bei Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Di 04.11.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Für die Menge M sei [mm] P(M):=\{A|A \subset M\} [/mm] die Potenzmenge von M. Sei [mm] N \subset M [/mm] und
[mm] f:P(M) \to P(M), A \to f(A):=N \cap A [/mm]
[mm] g:P(M) \to P(M), A \to g(A):=M\setminus A [/mm]
a) Zeigen Sie [mm] f \circ f = f, f(P(M))=P(N) [/mm] und
f ist injektiv [mm] \gdw N = M [/mm]
b) Zeigen Sie [mm] g(P(M))=P(M), [/mm] g ist injektiv und es gilt [mm] g^{-1}=g [/mm]
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Hallo,
mein Problem ist, dass ich nicht genau weiss, was ich zeigen soll - was wahrscheinlich auch zeigt, dass ich es nicht so richtig zeigen kann:
Muss ich jetzt zuerst zeigen [mm] f \circ f = f [/mm] und dann als nächstes [mm] f(P(M))=P(N) [/mm] und dann f injektiv [mm] \gdw N=M [/mm]
oder
alle 3 Bedingungen sind erfüllt genau-dann-wenn N=M ?
Mein Ansatz für [mm] f \circ f = f [/mm] ist: [mm] (f \circ f)(A)=f(f(A))=f(N \cap A)=N \cap A =f(A) [/mm] da [mm] A \cap (N \cap A)=N \cap (N \cap A)=N \cap A [/mm]
Mein Ansatz für [mm] f(P(M))=P(N) [/mm] ist: [mm] f(P(M))=N \cap f(M) [/mm] und da [mm] N \subset M [/mm] ist, ist [mm] N \subset P(M) [/mm] und damit ist auch die Potenzmenge von N eine Teilmenge von P(M).
Bei der Injektivität fällt mir nur ein, dass aus [mm] f(N)=f(M) \Rightarrow N=M [/mm] folgt, aber das reicht ja wohl noch nicht.
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 Di 04.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> Muss ich jetzt zuerst zeigen [mm]f \circ f = f[/mm] und dann als
> nächstes [mm]f(P(M))=P(N)[/mm] und dann f injektiv [mm]\gdw N=M[/mm]
Genau das...
> Mein Ansatz für [mm]f \circ f = f[/mm] ist: [mm](f \circ f)(A)=f(f(A))=f(N \cap A)=N \cap A =f(A)[/mm]
> da [mm]A \cap (N \cap A)=N \cap (N \cap A)=N \cap A[/mm]
Naja fast. Es ist [mm] $f(N\cap A)=N\cap\N\cap A=N\cap [/mm] A=f(A)$
> Mein Ansatz für [mm]f(P(M))=P(N)[/mm] ist: [mm]f(P(M))=N \cap f(M)[/mm] und
> da [mm]N \subset M[/mm] ist, ist [mm]N \subset P(M)[/mm] und damit ist auch
> die Potenzmenge von N eine Teilmenge von P(M).
Das ist leider völlig falsch. Die Potenzmenge von M bzw N sind Mengen von Mengen. Das Symbol $f(P(M))$ bedeutet hier [mm] $\{f(A)|A\in P(M)\}$, [/mm] ist also wieder eine Menge von Mengen. Du musst zeigen dass [mm] $f(P(M))\subset [/mm] P(N)$ und [mm] $f(P(M))\supset [/mm] P(N)$, z.B. die erste Inklusion:
Sei [mm] $X\in [/mm] f(P(M))$, d.h. es gibt ein [mm] $A\in [/mm] P(M)$ mit [mm] $X=N\cap [/mm] A$, also ist [mm] $X\subset [/mm] N$ bzw. [mm] $X\in [/mm] P(N)$.
> Bei der Injektivität fällt mir nur ein, dass aus [mm]f(N)=f(M) \Rightarrow N=M[/mm]
> folgt, aber das reicht ja wohl noch nicht.
Naja fast, du musst sagen "Sei $M=N$, [mm] $A,B\in [/mm] P(M)$ und $f(A)=f(B)$, dann ,,, folgt $A=B$"
Und dann noch die andere Richtung: ist $f$ injektiv, so folgt $M=N$.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Di 04.11.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Robert,
VIELEN DANK für deine Hilfe !!
> z.B. die erste Inklusion:
>
> Sei [mm]X\in f(P(M))[/mm], d.h. es gibt ein [mm]A\in P(M)[/mm] mit [mm]X=N\cap A[/mm],
> also ist [mm]X\subset N[/mm] bzw. [mm]X\in P(N)[/mm].
Ist die andere Richtung so richtig:
[mm] X \in P(N) [/mm] dann gibt es ein [mm] A \subset N = X = f(A) [/mm]. Da [mm] A \in P(M) [/mm] und [mm] X \subset A [/mm] ... hilfe ich weiss nicht weiter... *stöhn*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Di 04.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> Ist die andere Richtung so richtig:
> [mm]X \in P(N)[/mm] dann gibt es ein [mm]A \subset N = X = f(A) [/mm]. Da [mm]A \in P(M)[/mm]
> und [mm]X \subset A[/mm] ... hilfe ich weiss nicht weiter...
Na das ist doch schon fast fertig. Du gibst dir ein beliebiges [mm] $x\in [/mm] P(N)$ vor, und musst dann ein [mm] $A\in [/mm] P(M)$ finden, sodass $f(A)=X$ ist.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:50 Mi 05.11.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Robert, vielen vielen Dank !!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Mi 05.11.2008 | | Autor: | SusanneK |
Puh, jetzt habe ich den Teil a) verstanden, jetzt hänge ich am Teil b):
Für eine Menge M sei [mm] P(M):=\{A|A \subset M\} = [/mm] Potenzmenge
Sei [mm] g(A):=M \setminus A [/mm].
1) Zeigen Sie [mm] g(P(M))=P(M) [/mm] . Aber [mm] g(P(M))= M \setminus P(M) [/mm]. Das ist doch die leere Menge ? M ist doch eine Teilmenge von P(M).
2) Dann die Injektivität von g: Seien [mm] A_1, A_2 \in P(M) [/mm] dann gilt, aus [mm] g(A_1)=g(A_2) [/mm] folgt [mm] A_1=A_2 [/mm]. Wahrscheinlich spielt hier das Ergebnis aus 1) eine Rolle - oder ? Hier komme ich auch nicht so richtig weiter.
3) Für die Umkehrfunktion gilt (und das setzt voraus, dass g injektiv ist, was aus 2 folgen muss) [mm] g^{-1}(g(A))=A [/mm] :
[mm] g^{-1}(M \setminus A) = M \setminus M \setminus A = A [/mm]
Es ist aber auch [mm] g(M \setminus A)=A [/mm] also ist [mm] g=g^{-1} [/mm].
Geht das so ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Puh, jetzt habe ich den Teil a) verstanden, jetzt hänge ich
> am Teil b):
> Für eine Menge M sei [mm]P(M):=\{A|A \subset M\} =[/mm]
> Potenzmenge
> Sei [mm]g(A):=M \setminus A [/mm].
>
> 1) Zeigen Sie [mm]g(P(M))=P(M)[/mm] . Aber [mm]g(P(M))= M \setminus P(M) [/mm].
> Das ist doch die leere Menge ? M ist doch eine Teilmenge
> von P(M).
bist Du sicher?
(Außerdem ist ja gar nicht $M [mm] \red{\subseteq} [/mm] P(M)$, sondern $M [mm] \blue{\in} [/mm] P(M)$! Beispiel: [mm] $M=\{1,2\},$ [/mm] dann ist [mm] $P(M)=\{\emptyset,\;\{1\},\;\{2\},\;\{1,\;2\}\}$. [/mm] Wäre $M [mm] \subseteq [/mm] P(M)$, so müsste z.B. $1 [mm] \in [/mm] P(M)$ gelten. Es ist aber $1 [mm] \notin [/mm] P(M)$ (wohl aber [mm] $\blue{\{}1\blue{\}} \in [/mm] P(M)$).)
Denn da liegt auch schon der Hund begraben. Es gilt:
[mm] $$g(P(M))=\{g(R):\; R \in P(M)\}=\{g(R):\;R \subseteq M\}=\{M \setminus R:\;R \subseteq M\}\,.$$
[/mm]
(Mach' Dir ruhig mal ein einfaches Beispiel mit [mm] $M=\{1,\;2,\;3\}$ [/mm] und [mm] $P(M)=\{\emptyset,\{1\},\;\{2\},\;\{3\},\;\{4\};\{1,\;2\},\;\{1,\;3\},\;\{2,\;3\},\;\{1,\;2,\;3\}\}$ [/mm] und schau', wie das hier konkret aussieht.)
Dann ist klar, dass [mm] $g(P(M))=P(M)\,.$ [/mm]
Zu [mm] '$\subseteq$': [/mm] Ist $T [mm] \in g(P(M))\,$ [/mm] so existiert nach Definition der Menge $g(P(M))$ ein $R [mm] \in [/mm] P(M)$ mit [mm] $g(R)=T\,.$ [/mm] D.h. es gilt $T=M [mm] \setminus R\,.$ [/mm] Warum gilt nun $T [mm] \in [/mm] P(M)$?
Zu [mm] '$\supseteq$': [/mm] Ist andererseits $U [mm] \in P(M)\,,$ [/mm] so ist nun nachzuweisen, dass auch $U [mm] \in [/mm] g(P(M))$ gilt. Nach Definition der Menge $g(P(M))$ ist also zu zeigen: Es existiert ein $V [mm] \in [/mm] P(M)$ mit [mm] $g(V)=U\,.$ [/mm] Setze einfach mal $V:=M [mm] \setminus U\,.$ [/mm] Dann ist $V [mm] \subseteq [/mm] M$ und ...
> 2) Dann die Injektivität von g: Seien [mm]A_1, A_2 \in P(M)[/mm]
> dann gilt, aus [mm]g(A_1)=g(A_2)[/mm] folgt [mm]A_1=A_2 [/mm]. Wahrscheinlich
> spielt hier das Ergebnis aus 1) eine Rolle - oder ? Hier
> komme ich auch nicht so richtig weiter.
Der Anfang ist doch okay. Du hast zu zeigen: Sind [mm] $A_1, A_2 \in [/mm] P(M)$ so, dass [mm] $g(A_1)=g(A_2)$ [/mm] gilt und zu zeigen ist nun: Dann folgt schon [mm] $A_1=A_2\,.$
[/mm]
Wenn Du das mal ausschreibst, steht da nur noch, dass zu zeigen ist:
Für [mm] $A_1,A_2 \subseteq [/mm] M$ gilt: Aus $M [mm] \setminus A_1=M \setminus A_2$ [/mm] folgt schon [mm] $A_1=A_2\,.$ [/mm] Da führen viele Wege zum Ziel, z.B. auch ein Beweis duch Kontraposition (wenn man '$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$' zeigen will, so ist das äquivalent zu [mm] '$(\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] A)$', und das letzte nennt man dann die zugehörige Kontraposition), der dann hier so vonstatten geht:
Wenn [mm] $A_1 \not= A_2\,$ [/mm] so zeige: dann muss auch schon $M [mm] \setminus A_1 \not= [/mm] M [mm] \setminus A_2$ [/mm] gelten. (Beachte dabei, dass [mm] $A_{1,2} \subseteq [/mm] M$ mit vorausgesetzt wird.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Mi 05.11.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Marcel,
erstmal VIELEN VIELEN DANK für deine ausführliche und tolle Erklärung !!
Das war ganz schön schwere Kost für mich 
> (Außerdem ist ja gar nicht [mm]M \red{\subseteq} P(M)[/mm], sondern
> [mm]M \blue{\in} P(M)[/mm]! Beispiel: [mm]M=\{1,2\},[/mm] dann ist
> [mm]P(M)=\{\emptyset,\;\{1\},\;\{2\},\;\{1,\;2\}\}[/mm]. Wäre [mm]M \subseteq P(M)[/mm],
> so müsste z.B. [mm]1 \in P(M)[/mm] gelten. Es ist aber [mm]1 \notin P(M)[/mm]
> (wohl aber [mm]\blue{\{}1\blue{\}} \in P(M)[/mm]).)
> Denn da liegt auch schon der Hund begraben. Es gilt:
> [mm]g(P(M))=\{g(R):\; R \in P(M)\}=\{g(R):\;R \subseteq M\}=\{M \setminus R:\;R \subseteq M\}\,.[/mm]
An der oberen Zeile hab ich ganz schön lange geknackt !
> Dann ist klar, dass [mm]g(P(M))=P(M)\,.[/mm]
> Zu '[mm]\subseteq[/mm]': Ist [mm]T \in g(P(M))\,[/mm] so existiert nach
> Definition der Menge [mm]g(P(M))[/mm] ein [mm]R \in P(M)[/mm] mit [mm]g(R)=T\,.[/mm]
> D.h. es gilt [mm]T=M \setminus R\,.[/mm] Warum gilt nun [mm]T \in P(M)[/mm]?
Weil [mm] T \subseteq M [/mm] ist und damit auch [mm] \in P(M) [/mm].
Stimmt das so ?
>
> Zu '[mm]\supseteq[/mm]': Ist andererseits [mm]U \in P(M)\,,[/mm] so ist nun
> nachzuweisen, dass auch [mm]U \in g(P(M))[/mm] gilt. Nach Definition
> der Menge [mm]g(P(M))[/mm] ist also zu zeigen: Es existiert ein [mm]V \in P(M)[/mm]
> mit [mm]g(V)=U\,.[/mm] Setze einfach mal [mm]V:=M \setminus U\,.[/mm] Dann
Das verstehe ich nicht, ich dachte: [mm] g(V)=M \setminus V= U [/mm]. Wenn ich jetzt [mm]V:=M \setminus U\,.[/mm] mache, dann erhalte ich [mm] g(M \setminus U) = M \setminus (M \setminus U) = U ? [/mm]
> ist [mm]V \subseteq M[/mm] und ...
..damit ist [mm] V \in P(M) [/mm] ...? Hier weiss nicht, wie ich auf [mm] U \in g(P(M)) [/mm] kommen kann ...?
> > 2) Dann die Injektivität von g: Seien [mm]A_1, A_2 \in P(M)[/mm]
> > dann gilt, aus [mm]g(A_1)=g(A_2)[/mm] folgt [mm]A_1=A_2 [/mm]. Wahrscheinlich
> > spielt hier das Ergebnis aus 1) eine Rolle - oder ? Hier
> > komme ich auch nicht so richtig weiter.
>
> Der Anfang ist doch okay. Du hast zu zeigen: Sind [mm]A_1, A_2 \in P(M)[/mm]
> so, dass [mm]g(A_1)=g(A_2)[/mm] gilt und zu zeigen ist nun: Dann
> folgt schon [mm]A_1=A_2\,.[/mm]
>
> Wenn Du das mal ausschreibst, steht da nur noch, dass zu
> zeigen ist:
> Für [mm]A_1,A_2 \subseteq M[/mm] gilt: Aus [mm]M \setminus A_1=M \setminus A_2[/mm]
> folgt schon [mm]A_1=A_2\,.[/mm] Da führen viele Wege zum Ziel, z.B.
> auch ein Beweis duch Kontraposition (wenn man '[mm]A \Rightarrow B[/mm]'
> zeigen will, so ist das äquivalent zu '[mm](\neg B) \Rightarrow (\neg A)[/mm]',
> und das letzte nennt man dann die zugehörige
> Kontraposition), der dann hier so vonstatten geht:
> Wenn [mm]A_1 \not= A_2\,[/mm] so zeige: dann muss auch schon [mm]M \setminus A_1 \not= M \setminus A_2[/mm]
> gelten. (Beachte dabei, dass [mm]A_{1,2} \subseteq M[/mm] mit
> vorausgesetzt wird.)
VIELEN DANK !!!
LG, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Do 06.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Susanne,
> Hallo Marcel,
> erstmal VIELEN VIELEN DANK für deine ausführliche und
> tolle Erklärung !!
>
> Das war ganz schön schwere Kost für mich
ich hoffe, sie liegt nicht schwer im Magen
> > (Außerdem ist ja gar nicht [mm]M \red{\subseteq} P(M)[/mm], sondern
> > [mm]M \blue{\in} P(M)[/mm]! Beispiel: [mm]M=\{1,2\},[/mm] dann ist
> > [mm]P(M)=\{\emptyset,\;\{1\},\;\{2\},\;\{1,\;2\}\}[/mm]. Wäre [mm]M \subseteq P(M)[/mm],
> > so müsste z.B. [mm]1 \in P(M)[/mm] gelten. Es ist aber [mm]1 \notin P(M)[/mm]
> > (wohl aber [mm]\blue{\{}1\blue{\}} \in P(M)[/mm]).)
> > Denn da liegt auch schon der Hund begraben. Es gilt:
> > [mm]g(P(M))=\{g(R):\; R \in P(M)\}=\{g(R):\;R \subseteq M\}=\{M \setminus R:\;R \subseteq M\}\,.[/mm]
>
> An der oberen Zeile hab ich ganz schön lange geknackt !
Das ist eigentlich relativ normal. Man hat hier ja quasi gewisse Stufen, und da verliert man schnell den Überblick. Gerade anfangs...
> > Dann ist klar, dass [mm]g(P(M))=P(M)\,.[/mm]
> > Zu '[mm]\subseteq[/mm]': Ist [mm]T \in g(P(M))\,[/mm] so existiert nach
> > Definition der Menge [mm]g(P(M))[/mm] ein [mm]R \in P(M)[/mm] mit [mm]g(R)=T\,.[/mm]
> > D.h. es gilt [mm]T=M \setminus R\,.[/mm] Warum gilt nun [mm]T \in P(M)[/mm]?
>
> Weil [mm]T \subseteq M[/mm] ist und damit auch [mm]\in P(M) [/mm].
> Stimmt
> das so ?
Ja. Du musst aber wirklich ein wenig aufpassen: Anhand der Gleichung $T=M [mm] \setminus [/mm] R$ erkennt man ja erst, dass $T [mm] \subseteq M\,$ [/mm] (editiert!) Denn die rechte Seite dort ($M [mm] \setminus [/mm] R$) ist ja offensichtlich eine Teilmenge von [mm] $M\,.$
[/mm]
> >
> > Zu '[mm]\supseteq[/mm]': Ist andererseits [mm]U \in P(M)\,,[/mm] so ist nun
> > nachzuweisen, dass auch [mm]U \in g(P(M))[/mm] gilt. Nach Definition
> > der Menge [mm]g(P(M))[/mm] ist also zu zeigen: Es existiert ein [mm]V \in P(M)[/mm]
> > mit [mm]g(V)=U\,.[/mm] Setze einfach mal [mm]V:=M \setminus U\,.[/mm] Dann
> Das verstehe ich nicht, ich dachte: [mm]g(V)=M \setminus V= U [/mm].
> Wenn ich jetzt [mm]V:=M \setminus U\,.[/mm] mache, dann erhalte ich
> [mm]g(M \setminus U) = M \setminus (M \setminus U) = U ?[/mm]
Ja. Ist Dir die letzte Gleichung hier unklar? Dann mache folgendes:
Ich benutze die Schreibweise [mm] $C_M(U)$[/mm] ![[]](/images/popup.gif) aus Definition 1.1.2 von hier.
Dann gilt nämlich [mm] $g(C_M(U))=M\setminus C_M(U)\underset{\text{Definition 1.1.2}}{=}C_M(C_M(U))\,.$ [/mm] Wenn Dir jetzt nicht klar sein sollte, dass das gerade $=U$ ist, sieht man es eigentlich auch so sofort:
[mm] $$C_M(C_M(U))=\{x \in M: x \notin C_M(U)\}=\{x \in M: \neg(x \in M \text{ und }x \notin U)\}=\{x \in M: x \notin M \text{ oder }x \in U\}=\{x \in M: x\in U\}\underset{\text{da }U \subseteq M}{=}U\,.$$
[/mm]
Alternativ: Wir benutzen mal die Schreibeweise [mm] $A^c:=M\setminus [/mm] A$ für $A [mm] \subseteq M\,.$ [/mm] Dann gilt [mm] $M\setminus U=U^c$. [/mm] Für [mm] $V=U^c=M \setminus [/mm] U=M [mm] \cap U^c$ [/mm] gilt dann:
$$g(V)=M [mm] \setminus [/mm] V=M [mm] \setminus U^c=M \cap (U^c)^c=M \cap [/mm] U=U$$
wobei die letzte Gleichheit wegen $U [mm] \subseteq [/mm] M$ gilt. (Auch hier muss man sich natürlich genau wie oben überlegen, dass [mm] $(U^c)^c=U\,.$)
[/mm]
Und natürlich kannst Du das auch mit Deiner Schreibweise sofort erkennen:
$$M [mm] \setminus [/mm] (M [mm] \setminus [/mm] U)=M [mm] \setminus \{x \in M: x \notin U\}=\{x \in M: \neg(x \in M \text{ und } x \notin U)\}=\{x \in M: x \notin M\;\; \underline{\text{oder}}\;\; x \in U\}$$
[/mm]
[mm] $$=\{x \in M: x \in U\}\underset{\text{da }U \subseteq M}{=}\{x \in U\}=U\,.$$
[/mm]
> > ist
> [mm]V \subseteq M[/mm] und ...
> ..damit ist [mm]V \in P(M)[/mm] ...? Hier weiss nicht, wie ich auf
> [mm]U \in g(P(M))[/mm] kommen kann ...?
>
> > > 2) Dann die Injektivität von g: Seien [mm]A_1, A_2 \in P(M)[/mm]
> > > dann gilt, aus [mm]g(A_1)=g(A_2)[/mm] folgt [mm]A_1=A_2 [/mm]. Wahrscheinlich
> > > spielt hier das Ergebnis aus 1) eine Rolle - oder ? Hier
> > > komme ich auch nicht so richtig weiter.
> >
> > Der Anfang ist doch okay. Du hast zu zeigen: Sind [mm]A_1, A_2 \in P(M)[/mm]
> > so, dass [mm]g(A_1)=g(A_2)[/mm] gilt und zu zeigen ist nun: Dann
> > folgt schon [mm]A_1=A_2\,.[/mm]
> >
> > Wenn Du das mal ausschreibst, steht da nur noch, dass zu
> > zeigen ist:
> > Für [mm]A_1,A_2 \subseteq M[/mm] gilt: Aus [mm]M \setminus A_1=M \setminus A_2[/mm]
> > folgt schon [mm]A_1=A_2\,.[/mm] Da führen viele Wege zum Ziel, z.B.
> > auch ein Beweis duch Kontraposition (wenn man '[mm]A \Rightarrow B[/mm]'
> > zeigen will, so ist das äquivalent zu '[mm](\neg B) \Rightarrow (\neg A)[/mm]',
> > und das letzte nennt man dann die zugehörige
> > Kontraposition), der dann hier so vonstatten geht:
> > Wenn [mm]A_1 \not= A_2\,[/mm] so zeige: dann muss auch schon [mm]M \setminus A_1 \not= M \setminus A_2[/mm]
> > gelten. (Beachte dabei, dass [mm]A_{1,2} \subseteq M[/mm] mit
> > vorausgesetzt wird.)
>
> VIELEN DANK !!!
Bitte, gern geschehen! 
LG,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Do 06.11.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Marcel,
erstmal wieder VIELEN VIELEN DANK für deine tolle Hilfe !!
...mitten aus der Nacht
2 Dinge verstehe ich immer noch nicht:
> > > Dann ist klar, dass [mm]g(P(M))=P(M)\,.[/mm]
> > > Zu '[mm]\subseteq[/mm]': Ist [mm]T \in g(P(M))\,[/mm] so existiert nach
> > > Definition der Menge [mm]g(P(M))[/mm] ein [mm]R \in P(M)[/mm] mit [mm]g(R)=T\,.[/mm]
> > > D.h. es gilt [mm]T=M \setminus R\,.[/mm] Warum gilt nun [mm]T \in P(M)[/mm]?
> > Weil [mm]T \subseteq M[/mm] ist und damit auch [mm]\in P(M) [/mm].
> Stimmt
> > das so ?
>
> Ja. Du musst aber wirklich ein wenig aufpassen: Anhand der
> Gleichung [mm]T=M \setminus R[/mm] erkennt man ja erst, dass [mm]T \subseteq R\,.[/mm]
> Denn die rechte Seite dort ([mm]M \setminus R[/mm]) ist ja
> offensichtlich eine Teilmenge von [mm]M\,.[/mm]
1) Warum ist [mm]T \subseteq R[/mm] oder meintest du [mm]T \subseteq M[/mm] ?
> > > Zu '[mm]\supseteq[/mm]': Ist andererseits [mm]U \in P(M)\,,[/mm] so ist nun
> > > nachzuweisen, dass auch [mm]U \in g(P(M))[/mm] gilt. Nach Definition
> > > der Menge [mm]g(P(M))[/mm] ist also zu zeigen: Es existiert ein [mm]V \in P(M)[/mm]
> > > mit [mm]g(V)=U\,.[/mm] Setze einfach mal [mm]V:=M \setminus U\,.[/mm] Dann
> > Das verstehe ich nicht, ich dachte: [mm]g(V)=M \setminus V= U [/mm].
> > Wenn ich jetzt [mm]V:=M \setminus U\,.[/mm] mache, dann erhalte ich
> > [mm]g(M \setminus U) = M \setminus (M \setminus U) = U ?[/mm]
2) Hier verstehe ich nicht: Setze einfach mal [mm] V:=M \setminus U [/mm]
Ich kann doch nicht einfach die Argumente vertauschen ?
Es ist doch [mm] g(V)=U [/mm], also [mm] U:=M \setminus V [/mm] ?
Dass das: [mm]g(M \setminus U) = M \setminus (M \setminus U) = U [/mm] dann gilt habe ich jetzt verstanden, dank deiner tollen Erklärung (!) - aber den Schritt davor leider immer noch nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Do 06.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Susanne,
> Hallo Marcel,
> erstmal wieder VIELEN VIELEN DANK für deine tolle Hilfe !!
> ...mitten aus der Nacht
punktum auf die Minute War mir gar nicht aufgefallen ^^
> 2 Dinge verstehe ich immer noch nicht:
>
> > > > Dann ist klar, dass [mm]g(P(M))=P(M)\,.[/mm]
> > > > Zu '[mm]\subseteq[/mm]': Ist [mm]T \in g(P(M))\,[/mm] so existiert nach
> > > > Definition der Menge [mm]g(P(M))[/mm] ein [mm]R \in P(M)[/mm] mit [mm]g(R)=T\,.[/mm]
> > > > D.h. es gilt [mm]T=M \setminus R\,.[/mm] Warum gilt nun [mm]T \in P(M)[/mm]?
>
> > > Weil [mm]T \subseteq M[/mm] ist und damit auch [mm]\in P(M) [/mm].
> >
> Stimmt
> > > das so ?
> >
> > Ja. Du musst aber wirklich ein wenig aufpassen: Anhand der
> > Gleichung [mm]T=M \setminus R[/mm] erkennt man ja erst, dass [mm]T \subseteq R\,.[/mm]
> > Denn die rechte Seite dort ([mm]M \setminus R[/mm]) ist ja
> > offensichtlich eine Teilmenge von [mm]M\,.[/mm]
> 1) Warum ist [mm]T \subseteq R[/mm] oder meintest du [mm]T \subseteq M[/mm]
> ?
Ja, ich meinte [mm] $\subseteq [/mm] M$, das war ein Verschreiber. Ich editiere das Mal. Danke für den Hinweis
> > > > Zu '[mm]\supseteq[/mm]': Ist andererseits [mm]U \in P(M)\,,[/mm] so ist nun
> > > > nachzuweisen, dass auch [mm]U \in g(P(M))[/mm] gilt. Nach Definition
> > > > der Menge [mm]g(P(M))[/mm] ist also zu zeigen: Es existiert ein
> > > >[mm]V \in P(M)[/mm]
> > > > mit [mm]g(V)=U\,.[/mm] Setze einfach mal [mm]V:=M \setminus U\,.[/mm] Dann
> > > Das verstehe ich nicht, ich dachte: [mm]g(V)=M \setminus V= U [/mm].
> > > Wenn ich jetzt [mm]V:=M \setminus U\,.[/mm] mache, dann erhalte ich
> > > [mm]g(M \setminus U) = M \setminus (M \setminus U) = U ?[/mm]
Ja, das wollten wir aber doch:
[mm] $$g(\underbrace{M \setminus U}_{=V}) [/mm] = M [mm] \setminus [/mm] (M [mm] \setminus [/mm] U) = [mm] U\,$$
[/mm]
also gilt doch $g(V)=U$
> 2) Hier verstehe ich nicht: Setze einfach mal [mm]V:=M \setminus U[/mm]
>
> Ich kann doch nicht einfach die Argumente vertauschen ?
> Es ist doch [mm]g(V)=U [/mm], also [mm]U:=M \setminus V[/mm] ?
Wieso werden denn da Argumente getauscht? Zu zeigen war doch:
Für jedes $U [mm] \in [/mm] P(M)$ gilt auch $U [mm] \in g(P(M))\,.$ [/mm] Also: Für ein jedes beliebiges $U [mm] \in [/mm] P(M)$ gilt auch $U [mm] \in g(P(M))\,.$
[/mm]
Dazu nimmt man sich jetzt irgendein $U [mm] \in [/mm] P(M)$ (m.a.W.: irgendein $U [mm] \subseteq [/mm] M$) her. Jetzt ist zu zeigen: Dann gilt auch $U [mm] \in g(P(M))\,,$ [/mm] also nach Definition der Menge $g(P(M))$ heißt das, dass zu zeigen ist:
Es existiert ein $V [mm] \in [/mm] P(M)$ mit [mm] $g(V)=U\,.$
[/mm]
Jetzt zeigt man die Existenz eines solchen $V$ durch konkrete Angabe: Wir behaupten, dass mit $V:=M [mm] \setminus [/mm] U$ dann gilt: [mm] $g(V)=U\,.$
[/mm]
Die letzte Behauptung beweisen wir:
[mm] $$g(V)\underset{\text{nach Def. von }g}{=}M \setminus [/mm] V [mm] \underset{\text{da }V=M \setminus U}{=}M \setminus [/mm] (M [mm] \setminus U)=U\,.$$
[/mm]
Also ist auch $U [mm] \in g(P(M))\,.$ [/mm] Denn es ist ja [mm] $g(P(M))=\{g(X): X \in P(M)\}$ [/mm] und damit ist wegen $V [mm] \in [/mm] P(M)$ sicherlich $g(V) [mm] \in g(P(M))\,.$ [/mm] Nun war aber [mm] $g(V)=U\,$ [/mm] also steht da $U=g(V) [mm] \in g(P(M))\,.$
[/mm]
Da wir zu beliebigem $U [mm] \in [/mm] P(M)$ ein $V [mm] \in [/mm] P(M)$ mit $g(V)=U$ gefunden haben, gilt für alle $U [mm] \in [/mm] P(M)$ auch $U [mm] \in g(P(M))\,.$ [/mm]
Das ist allerdings in der Tat etwas verwirrend:
Denn mit $U,V [mm] \subseteq [/mm] M$ gilt mit $V:=M [mm] \setminus [/mm] U$ natürlich $g(g(V))=V$ bzw. [mm] $g(U)=V\,$ [/mm] aber auch $g(g(U))=U$ bzw. [mm] $g(V)=U\,.$ [/mm] Also es kann durchaus schon sein, dass ich da irgendwo mal die $U$ und $V$ vertauscht haben könnte und es jetzt nicht mehr sehe. Aber ich habe (zumindest die hier geschriebene Argumentation) ein paar Mal gelesen und bin überzeugt davon, dass sie so stimmt. Aber kein Mensch ist fehlerfrei, schon gar nicht bei solchen Aufgaben wie hier, wo man $g(U)=V$ und $g(V)=U$ hat (mit meiner Definition von $V$)...
> Dass das: [mm]g(M \setminus U) = M \setminus (M \setminus U) = U[/mm]
> dann gilt habe ich jetzt verstanden, dank deiner tollen
> Erklärung (!) - aber den Schritt davor leider immer noch
> nicht.
Ist es jetzt klarer? Sonst markiere mal die Stelle genau (mit [mm] [nomm]$\red{}$[/nomm] [/mm] innerhalb von Formeln; bzw. wie man es im Text markiert, erkennst Du ja am Formeleditor). Wie gesagt: Es ist nicht ausgeschlossen, dass ich das immer und immer wieder "überlese", dann stoss' mich bitte mit der Nase drauf
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Do 06.11.2008 | | Autor: | SusanneK |
LIEBER MARCEL,
VIELEN VIELEN DANK !!
Dank deiner ganz tollen und superausführlichen Erklärung habe ich es jetzt verstanden.
LG, Susanne.
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