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Hallo,
also ich ahbe da schon seit längerem ein Problem mit einer Klausraufgabe.
Sei [mm] f(x):=\frac{x^{2}}{\pi}+\cos x+x [/mm] für alle [mm]x\in\mathbb{R} [/mm].
a) Bestimme Sie a>0 so, dass [mm]g:=\setminus(\frac{\pi}{2}-a,\frac{\pi}{2}+a) [/mm] injektiv und [mm]\frac{3}{4}\in W(g)[/mm] erfüllt ist.
b) Berechnen Sie [mm] Dg^{-1}(\frac{3\pi}{4}) [/mm].
Den Augfgabenteil b) habe ich gelöst:
[mm] (g^{-1})'(\frac{2\pi}{4})=\frac{1}{g'(g^{-1}(x))}[/mm]
somit ist [mm] g(x)=\frac{3\pi}{4}[/mm] und damit muss damit die Gleichung erfülllt ist [mm]x=\frac{\pi}{2} [/mm].
Also: [mm] (g^{-1})'(\frac{3\pi}{4}=\frac{1}{f'(\frac{\pi}{2})[/mm]
[mm] f'(\frac{\pi}{2})=\frac{2\frac{\pi}{2}}{\pi}-\sin(\frac{\pi}{2})+1=1[/mm]
Somit ist [mm] (g^{-1})'(\frac{3\pi}{4})=\frac{1}{1}=1[/mm].
Aber mit dem Intervall aus a) habe ich Sschwierigkeiten. Ich denke ich muss die Umkehrfunktion von f bestimmen, und dann schauen wo diese definiert ist. Aber genau da ist das Problem, wie berechne ich von einer solchen Funktion die Umkehrung. Nach y auflösen, aber wie?
Danke schon mal
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Hallo Jasmin,
das stelle ich mir eigentlich gar nicht so schwer vor. Es gibt die sog. Umkehrformel, mit der du leicht Umkehrfunktionen berechnen kannst.
Steht mit Sicherheit in jedem Analysisbuch oder du googlst das mal.
Viel Glück
mathmetzsch
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Ist dass nicht die Formel die ich da auch schon verwedet habe? Oder gibt es da noch eine andere?
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Wenn ich das richtig bedenke, hast du die gemeinte Formel tatsächlich schon verwendet. Dann berechne doch zunächst [mm] f^{-1}(f(x)) [/mm] und dann die Ableitung davon daraus sollte sich dann leicht die Umkehrfunktion bilden lassen.
grüße mathmetzsch
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