Injektivität < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 So 29.10.2006 | | Autor: | PetFea |
| Aufgabe | Sei f: M [mm] \to [/mm] N eine Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(a) f(x) = f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] x = y, [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] M .
(b) es gibt eine Abbildung g: N [mm] \to [/mm] M so dass g(f(x)) = x, [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Lösungsidee ist eine Beweis in Hin- und Rückrichtung. Also:
"=>" direkte Beweis
f: M [mm] \to [/mm] f(M) surj.
[mm] \Rightarrow \exists f^{-1}:f(M) \to [/mm] M
[mm] \Rightarrow f^{-1}(f(M)) [/mm] = x [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M
"<=" indirekte Beweis
Annahme: g:N [mm] \to [/mm] M ; g(f'(x)) = x, x [mm] \in [/mm] M
f(x) = f(y)
[mm] \Rightarrow [/mm] ...
[mm] \Rightarrow [/mm] x=y
Ich habe den Tip vom Tutor bekommen, aber bin echt "dumm" in LA und weiss nicht, was ich weiter machen soll. Ich will die ganze Sache wirklich mal verstehen. Bitte um euere Hilfe!
Danke für jede Antwort!
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> Sei f: M [mm]\to[/mm] N eine Abbildung. Dann sind die folgenden
> Aussagen äquivalent:
> (a) f(x) = f(y) [mm]\Rightarrow[/mm] x = y, [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] M .
> (b) es gibt eine Abbildung g: N [mm]\to[/mm] M so dass g(f(x)) = x,
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M.
Hallo,
ich will zunächst versuchen, Dir den Inhalt von a) ==> b) zu verdeutlichen.
Fürs Verständnis und den Beweis und überhaupt ist es wichtig, daß Du die Begriffe Funktion, "injektiv" und "surjektiv" beherrschst.
Die Aussage: wenn Du eine injektive Funktion hast (a),
dann hat diese auf ihrer Bildmenge eine Umkehrfunktion (b).
Anschaulich mit Pünktchen-Pfeilbildchen (bitte aufmalen)
Links eine kleine Menge M von Pünktchen, fein ordentlich untereinander, damit es übersichtlich bleibt.
Rechts eine etwas größere Pünktchenmenge N.
Nun die Funktion f. Von Jedem M-Pünktchen geht genau ein Pfeil auf irgendein N Pünktchen (das ist die Injektivität).
Nun markier Dir die N-Pünktchen, die getroffen werden. Das ist die Bildmenge f(M).
Von jedem getroffenen Pünktchen kannst Du eindeutig sagen, von wo der Pfeil gekommen ist. Du kannst "Rückpfeile" einzeichnen. Das ist Deine Umkehrfunktion.
Jetzt überleg Dir noch, was wäre, wenn f nicht injektiv wäre ... Dann klappt das nicht.
Wenn Du das verstanden hast, kannst Du wahrscheinlich auch mit den (nicht üblen) Tutorentips etwas anfangen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 So 29.10.2006 | | Autor: | PetFea |
Ok, ich habe schon verstanden, was du gemeint und gezeigt hast. Also kann ich jetzt auch schon sagen: wenn f nicht injektiv wäre, dann kann es passieren, dass 2 Pünktchen aus M auf genau ein Pünktchen aus N treffen. Und dass heißt, dass es keine Umkehrfunktion gibt, denn das getroffene Pünktchen aus N weiss jetzt nicht, auf welchem Weg der zurückgehen sollte... usw..
Mein Problem liegt jetzt nicht darin, ob ich Injektivität oder Surjektivität nicht verstehe, sondern mir ist es nicht klar, wie man solche Aufgabe löst, also ... wie ... >.< Ich bin echt gerade mit LA angefangen, und solche Aufgaben sind mir so fremd, dass ich garnichts weiter kommen kann. Bitte erkläre mir die Schritte, die ich machen muss. Herzlichen Dank...
MfG
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> Ok, ich habe schon verstanden, was du gemeint und gezeigt
> hast. Also kann ich jetzt auch schon sagen: wenn f nicht
> injektiv wäre, dann kann es passieren, dass 2 Pünktchen aus
> M auf genau ein Pünktchen aus N treffen. Und dass heißt,
> dass es keine Umkehrfunktion gibt, denn das getroffene
> Pünktchen aus N weiss jetzt nicht, auf welchem Weg der
> zurückgehen sollte... usw..
Genau. wenn das so wäre, hätte man keine Umkehr-FUNKTION, denn diese ordnet jedem Element genau einen Funktionswert zu.
Fein, Du scheinst verstanden zu haben, worauf es hier ankommt.
Zu zeigen ist also:
Sei f: M $ [mm] \to [/mm] $ N eine Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(a) f(x) = f(y) $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ x = y, $ [mm] \forall [/mm] $ x,y $ [mm] \in [/mm] $ M .
(b) es gibt eine Abbildung g: N $ [mm] \to [/mm] $ M so dass g(f(x)) = x, $ [mm] \forall [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ M.
Wir zeigen zunächst "==>":
Es sei also f: M $ [mm] \to [/mm] $ N eine Abbildung mit folgender Eigenschaft:
f(x) = f(y) $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ x = y, $ [mm] \forall [/mm] $ x,y $ [mm] \in [/mm] $ M,
d.h. f ist injektiv.
Betrachte jetzt
die Einschränkung von f auf die Bildmenge
[mm] f_{f(M)} [/mm] : M ----> f(M), definiert durch
[mm] f_{f(M)}(x):= [/mm] f(x)
[mm] f_{f(M)} [/mm] ist surjektiv:
denn sei y [mm] \in [/mm] f(M).
Nach Def. Der Bildmenge gibt es ein x [mm] \in [/mm] M mit [mm] x=f(x]=f_{f(M)}(x).
[/mm]
Definiere nun eine Funktion
g: f(M) -----> M, definiert durch
g(y):= x mit f(x)=y.
Es ist zu prüfen, ob diese Definition sinnvoll ist, die "Wohldefiniertheit".
Zum einen muß man sich überzeugen, daß tatsächlich jedem Element des Definitionsbereiches ein Wert zugeordnet wird.
Sei y [mm] \in [/mm] f(M). Da [mm] f_{f(M)} [/mm] surjektiv ist, findet man ein x [mm] \in [/mm] M mit f(x)=y.
Also wird jedem y [mm] \in [/mm] f(M) ein Wert g(y) zugeordnet, nämlich das x [mm] \in [/mm] M mit f(x)=y.
Zum anderen ist zu prüfen, ob die Abbildungsvorschrift eindeutig ist, ob jedem y nur ein g(y) zugeordnet wird.
Einmal angenommen, man hätte ein y mit [mm] g(y)=x_1 [/mm] und [mm] g(y)=x_2.
[/mm]
Aufgrund der Def. von g folgt hieraus:
[mm] f(x_1)=y [/mm] und [mm] f(x_2)=y, [/mm] also [mm] f(x_1)= f(x_2).
[/mm]
Nach Voraussetzung (injektiv) folgt hieraus [mm] x_1=x_2.
[/mm]
Die Zuordnung ist also eindeutig.
Nun betrachte ich die Verkettung von f und g:
Sei x [mm] \in [/mm] M.
Es ist g(f(x))= x'
mit f(x')=f(x) nach Def. von g.
Da f injektiv, folgt x'=x und somit ist g(f(x))=x, was zu zeigen war.
Ich denke, das solltest Du erstmal verdauen.
Ich vermute, daß die Sache mit der Wohldefiniertheit Dir zunächst fremd erscheint.
Noch einmal zusammengefaßt:
Ich habe eine injektive Funktion f.
Schränkt man den Wertebereich auf den Bildbereich ein, ist sie sogar surjektiv.
Nun definiere ich eine Umkehrfunktion g
und zeige, daß sie die geforderte Eigenschaft hat.
Danach kannst du versuchen, Dich über die Rückrichtung herzumachen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 So 29.10.2006 | | Autor: | PetFea |
hallo angela, ich bin wirklich überzeugend wegen deiner Freundlichkeit und großen Mühe. Also einen dicken Dank an dir. Leider bin ich ... so zusagen ... einfach "zu stur" mit den Sachen in LA um deine Tips zuverstehen >.< Ich bitte dich, und vtl. auch die anderen, mit ganzem Herzen, die Sache "noch einfacher" zubeschreiben, falls es geht, damit ein alter Esel wie ich das Ding einbissen kann. Die Aufgabe schreibe ich von dir aber nicht ab, denn es hilft mir nichts beim Abschreiben. Ich will das einfach verstehen.
Nochmal mein Problem: Wie kann ich, oder besser gesagt, mit welchen Wegen kann ich solche Aufgabenart lösen? Was soll ich dabei achten? Wie kann ich Lösungsidee erzeugen und bearbeiten? Es scheint mir zu abstract aus, dass ich wirklich nicht weiss, wie man damit anfangen soll...
Sorry wegen den ganzen .. Chaos von mir...
MfG
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> Nochmal mein Problem: Wie kann ich, oder besser gesagt, mit
> welchen Wegen kann ich solche Aufgabenart lösen? Was soll
> ich dabei achten? Wie kann ich Lösungsidee erzeugen und
> bearbeiten?
Hallo,
ich hatte versucht, Dir die Idee der Lösung nahezubringen.
(Sonst hätte ich Dir auch nicht dei formale Lösung präsentiert...)
Schritt 1 ist das genaue Verständnis der Begriffe.
Schritt 2 ist das Verständnis des zu beweisenden Tatbestandes. Das Begreifen, welches ich bei mir - ich bin eine "Guckerin" - gerne durch Bildchen unterstütze. Das intuitiv- naive Verständnis des zu Beweisenden. Das Spielen mit Beispielen und Gegenbeispielen. Das Erkennen der Problematik, wie im konkreten Fall: was ist's, wenn es nicht injektiv ist.
Wenn man so weit ist, ist
Schritt 3 das kleinste Problem: das Formalisieren und Beweisen.
Es ist ja wie eine neue Sprache. Übung macht den Meister und aus Fehlern lernt man. Immer wieder.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:02 So 29.10.2006 | | Autor: | PetFea |
Hola, nach mehr als 3 mal habe ich deinen obengeschriebenen Text durchgelesen und habe die Voraussetzungen der "Wohldefiniertheit" wahrgenommen, also man muss 2 Sachen zeigen:
i) jedem Element des Definitionsbereiches wird ein Wert zugeordnet
ii) die Abbildungsvorschrift ist eindeutig
also meine "trotzdem blöde" Frage ist es nun: Warum muss man bei dieser Aufgabe die "Wohldefiniertheit" der Definition beweisen? Also, nochmal: Wozu ist es gut?
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> also meine "trotzdem blöde" Frage ist es nun: Warum muss
> man bei dieser Aufgabe die "Wohldefiniertheit" der
> Definition beweisen? Also, nochmal: Wozu ist es gut?
Die Frage ist nun wirklich nicht blöd...
Es ist, um sicherzugehen, daß das definierte Gebilde g wirklich eine Funktion ist. "Funktion", das ist im Augabentext gefordert und kein - Fliegenpilz.
Und Funktion, daß bedeutet eben, daß jedem Argument ein Wert zugeordnet wird, und keinem Argument zwei Werte.
Oft sieht man das auf einen Blick, aber einen solchen Fall hatten wir hier nicht vorliegen. Das mit der Wohldefiniertheit wird nicht das letzte Mal gewesen sein...
Das die Wohldefiniertheit nicht selbstverständlich ist, siehst Du ja auch daran, daß es nur klappt, weil wir uns auf den Bildbereich von f beschränkt haben, und weil f injektiv ist.
Gruß v. Angela
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