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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Mi 12.01.2005 | | Autor: | kaynak |
Hallo!
Habe folgendes Problem:
Es ist eine Fkt gegeben: f(x) = [mm] 2x^5 +7x^3 [/mm] + 3x und die Frage "Für welche Definitionsmenge ist f(x) injektiv?
Antwort: Da f'(x) = [mm] 10x^4 [/mm] + [mm] 21x^2 [/mm] + 3 > 0 für alle x [mm] \varepsilon \IR [/mm] ist f eine monoton steigende Fkt und damit injektiv in D = R.
Was ich nicht verstehe ist,
1. warum man überhaupt die Ableitung bildet
2. wieso f' bei > 0 monoton steigt
3. wie man diese Betrachtung durchführt, wenn die Ableitung eine ungerade Funktion aufweist?
Tausend Dank an alle, die sich mit der Antwort beschäftigen!
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Hallo erstmal,
ich versuche mich mal heute das erste mal im Hilfegeben....Hoffentlich klappt es *g*
zu 1. Aus der 1. Ableitung erhält man die Steigung einer Funktion
zu 2. Wenn f'>0 dann steigt die Funktion in dem Punkt, bei f'<0 würde sie fallen.
zu 3. Hmm...sollte genauso laufen.....
Hoffe habe wenigstens ein bisschen geholfen...
Infinte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kaynak,
> Hallo!
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> Habe folgendes Problem:
> Es ist eine Fkt gegeben: f(x) = [mm]2x^5 +7x^3[/mm] + 3x und die
> Frage "Für welche Definitionsmenge ist f(x) injektiv?
>
> Antwort: Da f'(x) = [mm]10x^4[/mm] + [mm]21x^2[/mm] + 3 > 0 für alle x
> [mm]\varepsilon \IR[/mm] ist f eine monoton steigende Fkt und damit
> injektiv in D = R.
>
> Was ich nicht verstehe ist,
> 1. warum man überhaupt die Ableitung bildet
Also: Da gibt es einen Satz, der Auskunft darüber gibt (ich denke, für Schüler reicht diese Formulierung des Satzes):
![[]](/images/popup.gif) http://www.steinwaldgym.de/ganzrat.htm#Monotonie:
Ist $f'(x)>0$ für alle $x [mm] \in [/mm] I$, dann ist $f$ streng monoton wachsend in [m]I[/m],
ist $f'(x)<0$ für alle [mm] $x\in [/mm] I$, dann ist $f$ streng monoton fallend in $I$.
Was heißt das nun, dass $f$ auf $I$ streng monoton steigt? D.h., dass für alle [m]x,y \in I[/m] mit [m]x < y[/m] gilt:
[m]f(x)
Wie bei dir, im Falle [m]I=\IR[/m], heißt das dann:
Weil bei dir [m]f'(x)>0[/m] [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in I=\IR$ [/mm] gilt, ist $f$ auf [m]\IR[/m] streng monoton wachsend.
Und weil für zwei Elemente [m]x,y \in \IR[/m] mit [m]x \not= y[/m] stets genau eine der Ungleichungen [m]x < y[/m] bzw. [m]x > y[/m] erfüllt ist, dass du o.B.d.A., da $x [mm] \not= [/mm] y$ sein soll, annehmen kannst, dass $x < y$ gelte.
Wie bereits erwähnt ist $f$ streng monoton wachsend auf [mm] $\IR$, [/mm] also folgt dann:
$f(x) < f(y)$, was dann insbesondere [mm] $f(x)\not=f(y)$ [/mm] zufolge hat, falls [m]x \not=y[/m] gilt. Also ist dein $f$ auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] injektiv, weil [m]f[/m] auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] streng monoton steigend ist.
Und, wie bereits erwähnt: Der Nachweis, dass $f$ auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] streng monoton steigend ist, konnten wir hier führen, weil nachgewiesen wurde, dass $f'(x)>0$ für alle [m]x \in \IR[/m] gilt und damit konnte der obige (bzw. der in dem Link erwähnte) Satz angewendet werden.
> 2. wieso f' bei > 0 monoton steigt
Wieso sollte das denn nun nicht der Fall sein? Wie gesagt:
Aus [m]f'(x)>0[/m] [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$ [/mm] folgt:
$f$ ist streng monoton wachsend auf [mm] $\IR$, [/mm] also ist $f$ insbesondere streng monoton wachsend auf [m]\IR_{>0}[/m].
> 3. wie man diese Betrachtung durchführt, wenn die Ableitung
> eine ungerade Funktion aufweist?
Überlege dir mal ein Beispiel, und dann versuche dich, an dem Satz, den ich oben verlinkt (und nochmal erwähnt) habe, zu orientieren. Ich denke, das sinnvollste ist es, das auch wenigstens einmal an einem Beispiel durchgerechnet zu haben. Mir ist schon klar, was da passiert, aber dir wird es am ehesten klar, wenn du es an einem Beispiel gesehen hast (da bin ich mir ziemlich sicher  ).
Beachte aber:
Während aus $f'(x)>0$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I$ stets folgt, dass $f$ auf $I$ streng monoton steigt, so folgt aus der Tatsache, dass $f$ auf $I$ streng monoton steigt, noch lange nicht, dass $f'(x)>0$ für alle $x [mm] \in [/mm] I$ gelten muss.
Betrachte z.B.:
[mm] $f:\IR \to \IR$, $f(x)=x^3$. [/mm] $f$ ist streng monoton wachsend auf ganz [m]\IR[/m], jedoch ist [mm] $f'(0)=3*0^2=3*0=0$.
[/mm]
Auf Seite 3 dieses Links:
http://www.informatik.htw-dresden.de/~weber/pillnitz/pill1_32_45.pdf
findest du z.B. die Sätze, die dir (mithilfe der Ableitungen) über das Monotonieverhalten einer Funktion Auskunft geben.
Viele Grüße,
Marcel
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