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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Fr 17.08.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Skriptum:
1)Eine injektive lineare Abbildung zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen wird i.A. nicht surjektiv sein.
Etwa ist die lineare Abbildung [mm] \IK[z] [/mm] -> [mm] \IK[z], [/mm] p -> zp injektiv aber nicht surjektiv.
2)Auch muss eine surjektive lineare Abbildung zwischen unendlich dimensionalen Vektorräumen nicht injektiv sein. Zum Bsp. die lineare Abbildung [mm] \IK[z] [/mm] -> [mm] \IK[z]
[/mm]
[mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] z + [mm] a_2 z^2 [/mm] + .. -> [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] z + [mm] a_3 z^2 [/mm] |
1)
p = [mm] p_0 [/mm] + [mm] p_1 [/mm] z + [mm] p_2 z^2 [/mm] + [mm] p_3 [/mm] z ^3 + .. = [mm] \sum_{i=0} p_i z_i
[/mm]
p -> z p
zp= [mm] p_0 [/mm] z + [mm] p_1 z^2 [/mm] + [mm] p_2 z^3 [/mm] + [mm] p_3 [/mm] z ^4 + ..
Injektiv:
ZuZeigen:
Wenn die Bilder gleich sind so sind auch die Argumente gleich
zp = zq
[mm] p_0 [/mm] z + [mm] p_1 z^2 [/mm] + [mm] p_2 z^3 [/mm] + [mm] p_3 [/mm] z ^4 + .. = [mm] q_0 [/mm] z + [mm] q_1 z^2 [/mm] + [mm] q_2 z^3 [/mm] + [mm] q_3 [/mm] z ^4 + ..
/:z
[mm] p_0 [/mm] + [mm] p_1 [/mm] z + [mm] p_2 z^2 [/mm] + [mm] p_3 [/mm] z ^3 + .. = [mm] q_0 [/mm] + [mm] q_1 [/mm] z + [mm] q_2 z^2 [/mm] + [mm] q_3 [/mm] z ^3 + ..
Passts?
Keine Surjektivität
ZuZeigen dass nicht alle Elemente in [mm] \IK [/mm] [z] als z *p dargestellt werden können.
Wie mache ich das?
2)
Hier ist mir das nur Intuitiv klar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 Fr 17.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Skriptum:
> 1)Eine injektive lineare Abbildung zwischen
> unendlichdimensionalen Vektorräumen wird i.A. nicht
> surjektiv sein.
> Etwa ist die lineare Abbildung [mm]\IK[z][/mm] -> [mm]\IK[z],[/mm] p -> zp
> injektiv aber nicht surjektiv.
>
> 2)Auch muss eine surjektive lineare Abbildung zwischen
> unendlich dimensionalen Vektorräumen nicht injektiv sein.
> Zum Bsp. die lineare Abbildung [mm]\IK[z][/mm] -> [mm]\IK[z][/mm]
> [mm]a_0[/mm] + [mm]a_1[/mm] z + [mm]a_2 z^2[/mm] + .. -> [mm]a_1[/mm] + [mm]a_2[/mm] z + [mm]a_3 z^2[/mm]
>
> 1)
> p = [mm]p_0[/mm] + [mm]p_1[/mm] z + [mm]p_2 z^2[/mm] + [mm]p_3[/mm] z ^3 + .. = [mm]\sum_{i=0} p_i z_i[/mm]
>
> p -> z p
> zp= [mm]p_0[/mm] z + [mm]p_1 z^2[/mm] + [mm]p_2 z^3[/mm] + [mm]p_3[/mm] z ^4 + ..
>
> Injektiv:
> ZuZeigen:
> Wenn die Bilder gleich sind so sind auch die Argumente
> gleich
> zp = zq
> [mm]p_0[/mm] z + [mm]p_1 z^2[/mm] + [mm]p_2 z^3[/mm] + [mm]p_3[/mm] z ^4 + .. = [mm]q_0[/mm] z + [mm]q_1 z^2[/mm]
> + [mm]q_2 z^3[/mm] + [mm]q_3[/mm] z ^4 + ..
> /:z
> [mm]p_0[/mm] + [mm]p_1[/mm] z + [mm]p_2 z^2[/mm] + [mm]p_3[/mm] z ^3 + .. = [mm]q_0[/mm] + [mm]q_1[/mm] z + [mm]q_2 z^2[/mm]
> + [mm]q_3[/mm] z ^3 + ..
> Passts?
Ja, aber was nach /:z kommt solltest Du noch sauber begründen.
>
> Keine Surjektivität
> ZuZeigen dass nicht alle Elemente in [mm]\IK[/mm] [z] als z *p
> dargestellt werden können.
> Wie mache ich das?
Auch konstante Funktionen sind in [mm]\IK[/mm] [z] enthalten !
FRED
>
> 2)
> Hier ist mir das nur Intuitiv klar.
>
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:57 Fr 17.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
Danke für die Antwort
> p -> z p
> zp= $ [mm] p_0 [/mm] $ z + $ [mm] p_1 z^2 [/mm] $ + $ [mm] p_2 z^3 [/mm] $ + $ [mm] p_3 [/mm] $ z ^4 + ..
>
> Injektiv:
> ZuZeigen:
> Wenn die Bilder gleich sind so sind auch die Argumente
> gleich
> zp = zq
> $ [mm] p_0 [/mm] $ z + $ [mm] p_1 z^2 [/mm] $ + $ [mm] p_2 z^3 [/mm] $ + $ [mm] p_3 [/mm] $ z ^4 + .. = $ [mm] q_0 [/mm] $ z + $ [mm] q_1 z^2 [/mm] $
> + $ [mm] q_2 z^3 [/mm] $ + $ [mm] q_3 [/mm] $ z ^4 + ..
> /:z
> $ [mm] p_0 [/mm] $ + $ [mm] p_1 [/mm] $ z + $ [mm] p_2 z^2 [/mm] $ + $ [mm] p_3 [/mm] $ z ^3 + .. = $ [mm] q_0 [/mm] $ + $ [mm] q_1 [/mm] $ z + $ [mm] q_2 z^2 [/mm] $
> + $ [mm] q_3 [/mm] $ z ^3 + ..
> Passts?
> Ja, aber was nach /:z kommt solltest Du noch sauber begründen.
Ich nehme an [mm] z\not= [/mm] 0
Da wenn z=0 es sich auf beiden seiten um das 0-Polynom handelt und die beiden Polynome sind gleich.
Oder meinst du noch etwas anderes, dass ich begründen sollte?
> Ja, aber was nach /:z kommt solltest Du noch sauber begründen.
Jap, klar. Die habe ich verdrängt ;)
Ich hab mich nochmal an 2 rangewagt:
2)$ [mm] \IK[z] [/mm] $ -> $ [mm] \IK[z] [/mm] $
> $ [mm] a_0 [/mm] $ + $ [mm] a_1 [/mm] $ z + $ [mm] a_2 z^2 [/mm] $ + .. -> $ [mm] a_1 [/mm] $ + $ [mm] a_2 [/mm] $ z + $ [mm] a_3 z^2 [/mm] $
Surjektivität:
Das Bild ist ein beliebiges Polynom, die Induzierung verändert nichts.
keine Injektivität:
Da finde ich nicht so recht ein Bsp. Ist [mm] a_0 [/mm] beliebig gewählt?
LG
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Hallo,
eine Teilantwort zu 2)
> Ich hab mich nochmal an 2 rangewagt:
> 2)[mm] \IK[z][/mm] -> [mm]\IK[z][/mm]
> > [mm]a_0[/mm] + [mm]a_1[/mm] z + [mm]a_2 z^2[/mm] + .. -> [mm]a_1[/mm] + [mm]a_2[/mm] z + [mm]a_3 z^2[/mm]
> Surjektivität:
> Das Bild ist ein beliebiges Polynom, die Induzierung
> verändert nichts.
Mach das mal genauer, nimm ein bel. Element aus dem Zielraum [mm]K[z][/mm] her, also [mm]p(z)=b_0+b_1z+b_2z^2+b_3z^3+\ldots[/mm]
Nun gib ein Element [mm]q(z)[/mm] aus dem Urbildraum [mm]K[z][/mm] an, das auf [mm]p(z)[/mm] abgebildet wird ...
>
> keine Injektivität:
> Da finde ich nicht so recht ein Bsp. Ist [mm]a_0[/mm] beliebig
> gewählt?
Ja, nimm einfach irgendzwei Elemente aus dem Urbildraum, die sich nur in den Konstanten, also in [mm]a_0[/mm] unterscheiden.
Worauf werden die abgebildet?
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Fr 17.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
Danke für die ANtwort.
SURJ:
Element aus dem Zielraum K[z] [mm] p(z)=b_0+b_1z+b_2z^2+b_3z^3+\ldots [/mm]
Das Element q(z) aus dem Urbilraum K[z] bildet auf p(z) ab.
[mm] q(z)=a_0+b_0z+b_1 z^2+b_2 z^3+b_3 z^4
[/mm]
So?
Nicht INJ:
a(z) =$ [mm] a_1 [/mm] $ + $ [mm] a_2 [/mm] $ z + $ [mm] a_3 z^2 [/mm] $
Urbild: $ [mm] a_0 [/mm] $ + $ [mm] a_1 [/mm] $ z + $ [mm] a_2 z^2 [/mm] $ +
wobei [mm] a_0, [/mm] beliebig [mm] \in \IZ [/mm] gewählt wird.
-> keid eindeutiges Urbild
LG
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Hallo nochmal,
> Hallo,
> Danke für die ANtwort.
>
> SURJ:
> Element aus dem Zielraum K[z]
> [mm]p(z)=b_0+b_1z+b_2z^2+b_3z^3+\ldots[/mm]
Ja, nochmal deutlich, da du das zweimal etwas merkwürdig aufgeschrieben hast.
Die zweite Abb. geht von [mm]K[z]\to K[z][/mm] und bildet [mm]a_0+a_1z+a_2z^2+\ldots[/mm] auf [mm]a_1+a_2z+a_3z^2\red{+\ldots}[/mm] ab.
Du hast das zweimal endlich auf der rechten Seite hingeschrieben ...
Dann wäre die Abb. aber nicht surj.
>
> Das Element q(z) aus dem Urbilraum K[z] bildet auf p(z)
> ab.
> [mm]q(z)=a_0+b_0z+b_1 z^2+b_2 z^3+b_3 z^4[/mm] [mm]\red{+\ldots}[/mm]
> So?
Du meinst das sicher als unendliches Polynom ...
Dann: ja!
>
> Nicht INJ:
> a(z) =[mm] a_1[/mm] + [mm]a_2[/mm] z + [mm]a_3 z^2[/mm]
> Urbild: [mm]a_0[/mm] + [mm]a_1[/mm] z + [mm]a_2 z^2[/mm]
> +
> wobei [mm]a_0,[/mm] beliebig [mm]\in \IZ[/mm] gewählt wird.
Wieso aus [mm]\IZ[/mm], doch eher aus [mm]K[/mm] ...
> -> keid eindeutiges Urbild
Ja! Du kannst ruhig konkret zwei versch. Polynome angeben, die dasselbe Bild haben ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 So 19.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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