Injektiv, Surjektiv, Bijektiv < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \IR \mapsto \IR [/mm] : f(x) = x+2 |
Habe ich das Prinzip nun richtig verstanden:
Wenn ich auf injektivität prüfe:
[mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}) [/mm]
also:
[mm] x_{1} [/mm] + 2 = [mm] x_{2} [/mm] +2 | -2
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm]
Oder könnte ich auch einfach 1 und -1 einsetzen, und prüfen ob das Ergebnis gleich ist? Aber dann hätte ich das ja eigentlich nicht für jede beliebige Zahl bewiesen..
Surjektivität:
y = x + 2 --> nach x auflösen
Fall 1: y > 0
y = x + 2 | -2
y - 2 = x
f (y-2) = y - 2 + 2
[mm] \Rightarrow [/mm] y = y
Fall 2: y < 0
y = x + 2
Da y nun allerdings negativ ist
-y = -x -2 | + 2
- y + 2 = - x | * (-1)
y - 2 = x
[mm] \Rightarrow [/mm] y = y
also ist f sowohl injektiv als auch surjektiv --> bijektiv
Danke :)
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Hallo,
> [mm]\IR \mapsto \IR[/mm] : f(x) = x+2
> Habe ich das Prinzip nun richtig verstanden:
>
> Wenn ich auf injektivität prüfe:
Jo, beginne formal etwas genauer: Seien [mm] $x_1,x_2\in\IR$ [/mm] mit [mm] $f(x_1)=f(x_2)$ [/mm] ...
Und zeige, wie du es gemacht hast, dass dann [mm] $x_1=x_2$ [/mm] gelten muss
> [mm]f(x_{1})[/mm] = [mm]f(x_{2})[/mm]
> also:
> [mm]x_{1}[/mm] + 2 = [mm]x_{2}[/mm] +2 | -2
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Oder könnte ich auch einfach 1 und -1 einsetzen, und
> prüfen ob das Ergebnis gleich ist? Aber dann hätte ich
> das ja eigentlich nicht für jede beliebige Zahl
> bewiesen..
Eben, allg. so wie du es gemacht hast, ist es richtig!
>
> Surjektivität:
> y = x + 2 --> nach x auflösen
> Fall 1: y > 0
Fallunterscheidung ist unnötig.
Du musst einfach zu jedem [mm]y\in\IR[/mm] ein [mm]x\in\IR[/mm] angeben mit [mm]f(x)=y[/mm], also mit [mm]x+2=y[/mm]
> y = x + 2 | -2
> y - 2 = x
Das ist genau das passende x!
> f (y-2) = y - 2 + 2
> [mm]\Rightarrow[/mm] y = y
> Fall 2: y < 0
> y = x + 2
> Da y nun allerdings negativ ist
> -y = -x -2 | + 2
> - y + 2 = - x | * (-1)
> y - 2 = x
> [mm]\Rightarrow[/mm] y = y
> also ist f sowohl injektiv als auch surjektiv -->
> bijektiv
Etwas holprig, aber im Großen und Ganzen richtig!
>
> Danke :)
Gruß
schachuzipus
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