Injektiv < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:00 So 31.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Es seien A, B und C nicht-leere Mengen und f : A [mm] \to [/mm] B und g : B [mm] \to [/mm] C zwei Abbildungen. Zeigen Sie:
a) Wenn g [mm] \circ [/mm] f injektiv ist, dann ist auch f injektiv, aber g im Allgemeinen nicht.
b) Wenn g [mm] \circ [/mm] f surjektiv ist, dann ist auch g surjektiv, aber f im Allgemeinen nicht. |
Hallo.
Kann mir da vllt jemand helfen. Ich weiß, was injektiv, ... bedeutet, aber wie kann man sowas beweisen. Danke schonmal.
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> Es seien A, B und C nicht-leere Mengen und f : A [mm]\to[/mm] B und
> g : B [mm]\to[/mm] C zwei Abbildungen. Zeigen Sie:
> a) Wenn g [mm]\circ[/mm] f injektiv ist, dann ist auch f injektiv,
> aber g im Allgemeinen nicht.
> b) Wenn g [mm]\circ[/mm] f surjektiv ist, dann ist auch g
> surjektiv, aber f im Allgemeinen nicht.
> Hallo.
>
> Kann mir da vllt jemand helfen. Ich weiß, was injektiv,
> ... bedeutet, aber wie kann man sowas beweisen. Danke
> schonmal.
Hallo,
fangen wir mit Aufgabe a) an.
Was bedeutet es, daß [mm] g\circ [/mm] f injektiv ist?
Schreib das mal auf.
Zeigen willst Du nun, daß unter dieser Voraussetzung auch f injektiv ist.
Was ist hierfür zu zeigen? Das mußt Du Dir natürlich vor dem Beweisbeginn überlegen.
Wenn das klar ist, kann der Beweis beginnen.
Beweis: sei [mm] g\circ [/mm] f injektiv und seien [mm] x_1, x_2\in [/mm] A mit
[mm] f(x_1)=f(x_2)
[/mm]
Dann gilt ... usw. usf.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 So 31.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
Injektiv bedeutet doch, dass jedem y-Wert aus der Zielmenge höchstens 1 x-Wert aus der Definitionsmenge zugeordnet wird.
[mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}
[/mm]
Aber wie setzt man das in Bezug zu Kompositionen. Die Komposition wäre doch f(g(x))?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 So 31.10.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Injektiv bedeutet doch, dass jedem y-Wert aus der Zielmenge
> höchstens 1 x-Wert aus der Definitionsmenge zugeordnet
> wird.
>
> [mm]f(x_{1})[/mm] = [mm]f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm]
für [mm] $x_1,x_2 \in D_f\,.$
[/mm]
>
> Aber wie setzt man das in Bezug zu Kompositionen. Die
> Komposition wäre doch f(g(x))?
Das wäre die Komposition $(f [mm] \circ g)(x)\,.$ [/mm] (Die macht hier aber keinen Sinn, da $g: B [mm] \to [/mm] C$ und damit $g(x)=:c [mm] \in [/mm] C$ ist; aber nirgendwo $C [mm] \subseteq [/mm] A$ gefordert wird, so dass [mm] $f(g(x))=f(c)\,$ [/mm] nicht notwendig definiert wäre!)
Für $f: A [mm] \to B\,$ [/mm] und $g: B [mm] \to [/mm] C$ ist $g [mm] \circ [/mm] f: A [mm] \to [/mm] C$ definiert durch $(g [mm] \circ f)(a):=g(\underbrace{f(a)}_{\in B}) \in C\,.$ [/mm] (Für alle $a [mm] \in A\,.$)
[/mm]
Deswegen liest man auch meist $g [mm] \circ [/mm] f$ als [mm] "$g\,$ [/mm] (wird) nach [mm] $f\,$ [/mm] ((nach-)geschaltet)...".
Denn bei $(g [mm] \circ f)(a)\,$ [/mm] wird "zuerst [mm] $f(a)=:b\,$" [/mm] (was dann ein Element aus [mm] $B\,$ [/mm] ist) berechnet, und "dann wird [mm] $g(b\,)=g(f(a))$ [/mm] berechnet".
Bzgl. der Aufgabe: Schau' mal in meine Antwort unten.
Beste Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 So 31.10.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien A, B und C nicht-leere Mengen und f : A [mm]\to[/mm] B und
> g : B [mm]\to[/mm] C zwei Abbildungen. Zeigen Sie:
> a) Wenn g [mm]\circ[/mm] f injektiv ist, dann ist auch f injektiv,
> aber g im Allgemeinen nicht.
> b) Wenn g [mm]\circ[/mm] f surjektiv ist, dann ist auch g
> surjektiv, aber f im Allgemeinen nicht.
> Hallo.
>
> Kann mir da vllt jemand helfen. Ich weiß, was injektiv,
> ... bedeutet, aber wie kann man sowas beweisen. Danke
> schonmal.
zu Aufgabe a):
Nimm' an, $g [mm] \circ [/mm] f$ (das ist eine Abbildung $A [mm] \to [/mm] C$) wäre injektiv, aber [mm] $f\,$ [/mm] nicht. Dann gibt es $A [mm] \ni x,y;\;\;x \not=y$ [/mm] und [mm] $f(x)=f(y)\,.$ [/mm] Was ist dann (wegen der Funktionseigenschaft von [mm] $g\,$ [/mm] und unter Beachtung der Definition von [mm] "$\circ$") [/mm] mit $(g [mm] \circ [/mm] f)(x)$ und $(g [mm] \circ [/mm] f)(y)$? Kann dann $g [mm] \circ [/mm] f$ noch injektiv sein?
Zum zweiten Teil dieser Aufgabe (dass [mm] $g\,$ [/mm] i.a. nicht injektiv sein muss):
Betrachte $g: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x):=x^2$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] und $f: [mm] \IR_{\ge 0}:=[0,\infty)=\{r \in \IR: r \ge 0\} \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=x\,$ [/mm] ($x [mm] \ge [/mm] 0$). [mm] $g\,$ [/mm] ist offenbar nicht injektiv (Warum? Vergleiche bspw. [mm] $g(-1)\,$ [/mm] mit [mm] $g(1)\,$!), [/mm] aber $g [mm] \circ [/mm] f$ ist als Abbildung [mm] $\IR_{\ge 0} \to \IR,\;x \mapsto x^2$ [/mm] offenbar injektiv (Warum?).
Teil b) kannst Du nun ja versuchen, "größtenteils" alleine zu lösen und Deine Lösung dann vorzustellen, damit wir sie nachvollziehen oder ggf. auch korrigieren können.
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 So 31.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
Sry aber irgendwie versteh ich das nicht :( Ich komme irgendwie mit dieser Komposition nicht zurecht. Kannst du mir vllt das nochmal erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 So 31.10.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sry aber irgendwie versteh ich das nicht :( Ich komme
> irgendwie mit dieser Komposition nicht zurecht.
das habe ich gerade in Deiner anderen Rückfrage oben bemerkt.
> Kannst du
> mir vllt das nochmal erklären?
Deswegen habe ich versucht, es oben nochmal zu erklären, wie das mit der Komposition abläuft. Solltest Du diese Erklärung, nachdem Du sie nun gelesen hast, noch nicht verstehen, gerne weiterfragen (allerdings kann es sein, dass ich erst später wieder antworte, und Dir aber vll. zwischenzeitlich auch von anderen geholfen wird).
P.S.:
Meine Erklärung ist "eher formal". Vielleicht hilft Dir auch so eine kleine Skizze mit endlichen Mengen ein wenig mehr - wäre schön, wenn jmd. so etwas hier "einreicht" oder auf so etwas verweist. Mir fehlt leider gerade die Zeit dafür ...
Freundliche Grüße,
MArcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 So 31.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
Danke sehr. So ganz verstanden hab ich das aber nicht. Ich kann die Begriffe wie injektiv irgendwie nicht mit den Begriffen der Komposition verknüpfen. Ich versuchs jetzt nochmal. Aber eine Erklärung wäre später vllt schon noch gut. Gruß und danke nochmal.
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Hallo,
ivh bin etwas unzufrieden, weil Du so wenig auf das eingegangen bist, was ist vorhin schrieb.
>
> fangen wir mit Aufgabe a) an.
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> Was bedeutet es, daß [mm]g\circ[/mm] f injektiv ist?
> Schreib das mal auf.
Wenn Du weißt, was es bedeutet, daß eine Funktio n f i njektiv ist, kannst Du das doch auch für die Funktion [mm] g\circ [/mm] f hinschreiben. Warum tust Du es nicht?
Wenn's zu schwer ist, dann setze [mm] h:=g\circ [/mm] f , schreib's dafür auf und ersetze am Ende das h dann wieder.
>
> Zeigen willst Du nun, daß unter dieser Voraussetzung auch
> f injektiv ist.
> Was ist hierfür zu zeigen? Das mußt Du Dir natürlich
> vor dem Beweisbeginn überlegen.
>
> Wenn das klar ist, kann der Beweis beginnen.
>
> Beweis: sei [mm]g\circ[/mm] f injektiv und seien [mm]x_1, x_2\in[/mm] A mit
> [mm]f(x_1)=f(x_2)[/mm]
> Dann gilt ...
Jetzt wende auf diese Gleichung die Funktion g an.
Dann weiter.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Do 04.11.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke sehr. So ganz verstanden hab ich das aber nicht. Ich
> kann die Begriffe wie injektiv irgendwie nicht mit den
> Begriffen der Komposition verknüpfen. Ich versuchs jetzt
> nochmal. Aber eine Erklärung wäre später vllt schon noch
> gut. Gruß und danke nochmal.
dann machen wir mal ein (anderes) Beispiel für den zweiten Teil des ersten Aufgabenteils:
Betrachte die Funktion [mm] $f:\{a,b\} \to \{-1,1\}$ [/mm] ($a [mm] \not=b$) [/mm] definiert durch
[mm] $$f(a):=-1,\;\;f(b):=1\,.$$
[/mm]
Offenbar ist [mm] $f\,$ [/mm] injektiv.
Betrachte nun [mm] $g:\{-1,0,1\} \to \{0,1\}$ [/mm] mit [mm] $g(-1):=g(0):=0\,$ [/mm] und [mm] $g(1):=1\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $g\,$ [/mm] offenbar NICHT injektiv.
Aber:
$g [mm] \circ [/mm] f: [mm] \{a,b\} \to \{0,1\}$ [/mm] ist gegeben durch
$$(g [mm] \circ [/mm] f)(a)=g(f(a))=g(-1)=0$$
und
$$(g [mm] \circ f)(b)=g(f(b))=g(1)=1\,,$$
[/mm]
und damit offenbar injektiv.
P.S.:
Um nochmal zum Hinweis des ersten Teils der ersten Aufgabe, siehe hier:
Es war $x [mm] \not=y$ [/mm] und [mm] $\blue{f(x)=f(y)}\,,$ [/mm] und somit gilt doch
[mm] $$(I)\;\;(g \circ f)(x)=g(\blue{f(x)})$$
[/mm]
und
[mm] $$(II)\;\;(g \circ f)(y)=g(\blue{f(y)})\,.$$
[/mm]
Wären die linken Seiten von (I) und (II), also die Auswertung von $g [mm] \circ [/mm] f$ an der Stelle [mm] $x\,$ [/mm] und die Auswertung von $g [mm] \circ [/mm] f$ an der Stelle [mm] $y\,,$ [/mm] nun nicht gleich, so folgte doch, dass mit [mm] $p:=\blue{f(x)=f(y)}$ [/mm] dann [mm] $g(p)\,$ [/mm] zwei Werte hätte, nämlich sowohl [mm] $g(\blue{f(x)})$ [/mm] als auch [mm] $g(\blue{f(y)})\,.$ [/mm] Dann wäre [mm] $g\,$ [/mm] aber keine Abbildung (Funktion) mehr. Widerspruch. Also müssen die linken Seiten von (I) und (II) gleich sein. Da $x,y [mm] \in D_{g \circ f}$ [/mm] mit $x [mm] \not=y$ [/mm] beliebig waren, folgt die Injektivität dieser Verknüpfungsfunktion.
Besten Gruß,
Marcel
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