Inhomogene Quadratische DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Kroni |
| Aufgabe | Gegeben ist eine DGL mit [mm] $\frac{dx}{dt}=x^2-1$
[/mm]
|
Hi,
ich möchte diese DGL lösen.
Die DGL ist ja erstmal inhomogen. Deshalb wollte ich die homogene Lösen:
[mm] $\frac{dx}{dt}=x^2$
[/mm]
Das habe ich mit Trennung der Variablen gemacht, und kam auf das Ergebnis:
[mm] $x(t)=\frac{x_0}{1-x_0*t}$
[/mm]
Soweit passt das ganze auch noch.
Wenn ich mir jetzt aber die inhomogene DGL hernehme, dann wäre ja x=1 eine spezielle Lösung. Wenn ich diese aber jetzt auf die Lösung der homogenen DGL addiere, so erhalte ich dann
[mm] $x(t)=\frac{x_0}{1-x_0*t}+1$
[/mm]
Wenn ich das ganze aber ableite etc, so kommt nicht -1 heraus.
Ich nehme an, dass ich das "Allgemeine Lösung = Lösung der homogenen plus eine spezielle Lösung" nicht machen kann, weil x hier nicht linear vorkommt.
Wie aber komme ich dann an die Lösung der inhomogenen DGL?
LG
Kroni
|
|
| |
|
Hallo Kroni,
> Gegeben ist eine DGL mit [mm]\frac{dx}{dt}=x^2-1[/mm]
>
> Hi,
>
> ich möchte diese DGL lösen.
> Die DGL ist ja erstmal inhomogen. Deshalb wollte ich die
> homogene Lösen:
> [mm]\frac{dx}{dt}=x^2[/mm]
> Das habe ich mit Trennung der Variablen gemacht, und kam
> auf das Ergebnis:
> [mm]x(t)=\frac{x_0}{1-x_0*t}[/mm]
> Soweit passt das ganze auch noch.
> Wenn ich mir jetzt aber die inhomogene DGL hernehme, dann
> wäre ja x=1 eine spezielle Lösung. Wenn ich diese aber
> jetzt auf die Lösung der homogenen DGL addiere, so erhalte
> ich dann
> [mm]x(t)=\frac{x_0}{1-x_0*t}+1[/mm]
> Wenn ich das ganze aber ableite etc, so kommt nicht -1
> heraus.
>
> Ich nehme an, dass ich das "Allgemeine Lösung = Lösung der
> homogenen plus eine spezielle Lösung" nicht machen kann,
> weil x hier nicht linear vorkommt.
>
> Wie aber komme ich dann an die Lösung der inhomogenen DGL?
Zum Lösen dieser DGL verwende doch besser die Methode der ![[]](/images/popup.gif) Trennung der Veränderlichen
>
> LG
>
> Kroni
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich habe doch die Variablen getrennt, und dann habe ich die DGl gelöst (zumindest das homogene).
Wenn ich doch
[mm] $\frac{dx}{dt}-x^2=-1$ [/mm] darstehen habe, ist die -1 doch eine Inhomogenität.
Also löse ich erstmal die homogene DGL:
[mm] $\frac{dx}{dt}=x^2 \gdw \frac{dx}{x^2}=dt$ [/mm] Dann integrieren, und dann kommt meine Lösung raus.
Wenn ich jetzt aber die spezielle Lösung x=1 addiere, und das dann in die Inhomogene DGL einsetze, kommt nicht -1 heraus, und ich weiß nicht, warum, das ist hier eher mein Problem.
Wenn ich da doch nur stehen habe [mm] $\frac{dx}{dt}-x^2=-1$ [/mm] kann ich doch nicht direkt die Variablentrennung machen?!
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
Hallo Kroni,
> Hi,
>
> ich habe doch die Variablen getrennt, und dann habe ich die
> DGl gelöst (zumindest das homogene).
>
> Wenn ich doch
> [mm]\frac{dx}{dt}-x^2=-1[/mm] darstehen habe, ist die -1 doch eine
> Inhomogenität.
> Also löse ich erstmal die homogene DGL:
> [mm]\frac{dx}{dt}=x^2 \gdw \frac{dx}{x^2}=dt[/mm] Dann integrieren,
> und dann kommt meine Lösung raus.
>
> Wenn ich jetzt aber die spezielle Lösung x=1 addiere, und
> das dann in die Inhomogene DGL einsetze, kommt nicht -1
> heraus, und ich weiß nicht, warum, das ist hier eher mein
> Problem.
>
> Wenn ich da doch nur stehen habe [mm]\frac{dx}{dt}-x^2=-1[/mm] kann
> ich doch nicht direkt die Variablentrennung machen?!
Ich meinte das so:
[mm]\bruch{dx}{dt}=x^{2}-1[/mm]
Nach Trennung der Variablen ergibt das:
[mm]\bruch{dx}{x^{2}-1}=dt[/mm]
Und das gilt es nun zu lösen.
>
> LG
>
> Kroni
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
danke sehr für die Antwort...das ist dämlich von mir, dass ich das nicht gesehen habe.
Danke sehr=) So passt das doch schon gleich viel besser =)
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Mi 23.07.2008 | | Autor: | tobbeu |
Hallo,
exakt dieselbe Aufgabe bereitet auch mir Probleme.
Intuitiv habe ich sie genauso gelöst wie es hier berichtigt wurde.
Aber mir leuchtet es insofern theoretisch nicht ein, weil man mit Trennung der Variablen doch nur homogene DGLn lösen kann.
Die -1 ist aber doch eindeutig eine Inhomogenität, oder?
Laut Regel muss man durch Separation die DGL auf die Form y'(x)=f(y(x))*g(x) bringen können.
Gut, ich könnte mir [mm] x^2-1 [/mm] also g(x) definieren.
Das würde mein Problem lösen.
Dann würde das heißen, dass Inhomogenitäten stets als Funktion einer Variablen auftreten müssen, weil man die dann nicht als Produkt schreiben kann.
Dann frage ich mich aber, warum wir im Mathe Skript in der Uni bei der DGL y'(x)=y(x) + 1 die "1" als Inhomogenität angenommen haben und erst das homogene System gelöst haben etc. pp.
Vielen Dank!
Tobi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Do 24.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Tobi!
> Hallo,
> exakt dieselbe Aufgabe bereitet auch mir Probleme.
> Intuitiv habe ich sie genauso gelöst wie es hier
> berichtigt wurde.
> Aber mir leuchtet es insofern theoretisch nicht ein, weil
> man mit Trennung der Variablen doch nur homogene DGLn lösen
> kann.
> Die -1 ist aber doch eindeutig eine Inhomogenität, oder?
>
> Laut Regel muss man durch Separation die DGL auf die Form
> y'(x)=f(y(x))*g(x) bringen können.
> Gut, ich könnte mir [mm]x^2-1[/mm] also g(x) definieren.
> Das würde mein Problem lösen.
>
> Dann würde das heißen, dass Inhomogenitäten stets als
> Funktion einer Variablen auftreten müssen, weil man die
> dann nicht als Produkt schreiben kann.
>
> Dann frage ich mich aber, warum wir im Mathe Skript in der
> Uni bei der DGL y'(x)=y(x) + 1 die "1" als Inhomogenität
> angenommen haben und erst das homogene System gelöst haben
> etc. pp.
Die DGL $y'(x)=y(x) + 1$ ist eine lineare DGL, da funktioniert die Methode der Aufteilung in allgemeine Lösung der homogenen DGL und spezielle Lösung der inhomogenen DGL. Da hier die Inhomogenität nicht von x abhängt, kannst du diese spezielle DGL aber genauso direkt durch Trennung der Variablen lösen. Im Gegensatz dazu funktioniert das schon bei der DGL $y'(x)=y(x) + x$ nicht mehr.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Die Regel "Lösung einer DGL = Allgemeine Lösung der homogenen DGL + eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL" gilt nur für LINEARE DGL!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
okay, dann weiß ich wieder mehr=) Danke.
LG
Kroni
|
|
|
|
