Inhomogene DGL lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL: y''-2y'+2y=sin2x |
Guten Abend,
bei der Aufgabe bin ich wie folgt vorgegangen:
1.Homogene DGL bestimmen --> charakteristisches Polynom bilden
[mm] \lambda^2-2*\lambda+2=0 [/mm] --> [mm] \lambda_1=1+i [/mm] und [mm] \lambda_2=1-i
[/mm]
Daraus folgt für homog. DGL: [mm] y_h=C_1*e^xcosx+C_2*e^xsinx
[/mm]
2.Partikuläre DGL lösen:
Ansatz: [mm] y_p=x*(Asin2x+Bcos2x)
[/mm]
[mm] y^{'}_{p}=A*sin(2x)+B*cos(2x)+x*[2A*cos(2x)-2*B*sin(2x)]
[/mm]
[mm] y^{''}_{p}=2Acos2x-2Bsin2x+2Acos2x-2Bsin2x+x[-4Asin2x-4Bcos2x]=4Acos2x-4Bsin2x+x[-4Asin2x-4Bcos2x]
[/mm]
4Acos2x-4Bsin2x+x*[-4Asin2x-4Bcos2x]-2Asin2x-2Bcos2x+2x*[2Acos2x-2Bsin2x]+2x*[Asin2x+Bcos2x]=sin2x
Jetzt der Koeffizientenvergleich:
Es sind ja nur die sin2x und cos2x teile interessant (muss ich auch die teile mit x berücksichtigen?):
cos2x[4A-2B]+sin2x[-2A-4B]
(I) 4A-2B=0
(II) -2A-4B=1
(I)+2*(I): -10B=2 --> B=-1/5 --> A=-1/10
[mm] y_p=x*[-1/10sin2x-1/5cos2x]
[/mm]
soweit alles richtig?
Danke vorab für die Korrektur.
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Hallo monstre123,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL:
> y''-2y'+2y=sin2x
> Guten Abend,
>
> bei der Aufgabe bin ich wie folgt vorgegangen:
>
> 1.Homogene DGL bestimmen --> charakteristisches Polynom
> bilden
>
> [mm]\lambda^2-2*\lambda+2=0[/mm] --> [mm]\lambda_1=1+i[/mm] und
> [mm]\lambda_2=1-i[/mm]
>
> Daraus folgt für homog. DGL: [mm]y_h=C_1*e^xcosx+C_2*e^xsinx[/mm]
>
>
> 2.Partikuläre DGL lösen:
>
> Ansatz: [mm]y_p=x*(Asin2x+Bcos2x)[/mm]
>
Es reicht hier der Ansatz
[mm]y_p=Asin2x+Bcos2x[/mm]
,da [mm]\sin\left(2x\right)[/mm] keine Lösung der homogenen DGL ist.
> [mm]y^{'}_{p}=A*sin(2x)+B*cos(2x)+x*[2A*cos(2x)-2*B*sin(2x)][/mm]
>
> [mm]y^{''}_{p}=2Acos2x-2Bsin2x+2Acos2x-2Bsin2x+x[-4Asin2x-4Bcos2x]=4Acos2x-4Bsin2x+x[-4Asin2x-4Bcos2x][/mm]
>
>
> 4Acos2x-4Bsin2x+x*[-4Asin2x-4Bcos2x]-2Asin2x-2Bcos2x+2x*[2Acos2x-2Bsin2x]+2x*[Asin2x+Bcos2x]=sin2x
>
>
> Jetzt der Koeffizientenvergleich:
>
> Es sind ja nur die sin2x und cos2x teile interessant (muss
> ich auch die teile mit x berücksichtigen?):
>
> cos2x[4A-2B]+sin2x[-2A-4B]
>
> (I) 4A-2B=0
> (II) -2A-4B=1
>
Hier hast Du etwas durcheinander gebracht:
[mm](I) 4\blue{B}-2\blue{A}=\blue{1}[/mm]
[mm](II) -2\blue{B}-4\blue{A}=\blue{0][/mm]
> (I)+2*(I): -10B=2 --> B=-1/5 --> A=-1/10
>
> [mm]y_p=x*[-1/10sin2x-1/5cos2x][/mm]
>
> soweit alles richtig?
>
>
> Danke vorab für die Korrektur.
Gruss
MathePower
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> Hallo monstre123,
>
> > Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL:
> > y''-2y'+2y=sin2x
> > Guten Abend,
> >
> > bei der Aufgabe bin ich wie folgt vorgegangen:
> >
> > 1.Homogene DGL bestimmen --> charakteristisches Polynom
> > bilden
> >
> > [mm]\lambda^2-2*\lambda+2=0[/mm] --> [mm]\lambda_1=1+i[/mm] und
> > [mm]\lambda_2=1-i[/mm]
> >
> > Daraus folgt für homog. DGL: [mm]y_h=C_1*e^xcosx+C_2*e^xsinx[/mm]
> >
> >
> > 2.Partikuläre DGL lösen:
> >
> > Ansatz: [mm]y_p=x*(Asin2x+Bcos2x)[/mm]
> >
>
>
> Es reicht hier der Ansatz
>
> [mm]y_p=Asin2x+Bcos2x[/mm]
>
> ,da [mm]\sin\left(2x\right)[/mm] keine Lösung der homogenen DGL
> ist.
>
>
> > [mm]y^{'}_{p}=A*sin(2x)+B*cos(2x)+x*[2A*cos(2x)-2*B*sin(2x)][/mm]
> >
> >
> [mm]y^{''}_{p}=2Acos2x-2Bsin2x+2Acos2x-2Bsin2x+x[-4Asin2x-4Bcos2x]=4Acos2x-4Bsin2x+x[-4Asin2x-4Bcos2x][/mm]
> >
> >
> >
> 4Acos2x-4Bsin2x+x*[-4Asin2x-4Bcos2x]-2Asin2x-2Bcos2x+2x*[2Acos2x-2Bsin2x]+2x*[Asin2x+Bcos2x]=sin2x
> >
> >
> > Jetzt der Koeffizientenvergleich:
> >
> > Es sind ja nur die sin2x und cos2x teile interessant (muss
> > ich auch die teile mit x berücksichtigen?):
> >
> > cos2x[4A-2B]+sin2x[-2A-4B]
> >
> > (I) 4A-2B=0
> > (II) -2A-4B=1
> >
>
>
> Hier hast Du etwas durcheinander gebracht:
>
> [mm](I) 4\blue{B}-2\blue{A}=\blue{1}[/mm]
> [mm](II) -2\blue{B}-4\blue{A}=\blue{0][/mm]
>
>
Mein Ansatz wäre aber auch okay, wenn ich das so weiterführe oder?
> > (I)+2*(I): -10B=2 --> B=-1/5 --> A=-1/10
> >
> > [mm]y_p=x*[-1/10sin2x-1/5cos2x][/mm]
> >
> > soweit alles richtig?
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> >
> > Danke vorab für die Korrektur.
>
>
> Gruss
> MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Mi 07.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Ansatz mit Faktor x ist nicht richtig, wenn du ihn wirklich durchführst muss ja der Teil mit Faktoren x 0 sein , dann bekommst du A=B=0
Also , da 2i nicht ein [mm] \lambda [/mm] ist musst du wirklich nur mit dem Ansatz ohne x rechnen.
Dein ansatz wäre nur richtig, wenn sin(2x) bzw cos(2x) schon Lösung der homogenen wäre.
Gruss leduart
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