Infinum, Supremum < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 So 04.11.2007 | | Autor: | cloui |
| Aufgabe | bestimme für jede der folgenden mengen, ob sie ein supremum bzw. ein infinum bsitzt. falls ja, berechne es und entscheide, ob es in der jeweiligen mengeenthalten ist.
a) M1 = [mm] {(-1)^{n} (2 + \bruch{3}{n}) | n \in \IN}
[/mm]
b) M2 = {(- [mm] \bruch{1}{3})^{m} [/mm] + [mm] \bruch{5}{n} [/mm] | m,n [mm] \in \IN}
[/mm]
c) M3 = {x [mm] \in \IR [/mm] | (x + a) (x + b)(x + c) > 0} wobei a < b< c fest |
also die ersten beiden aufgaben habe ich mal versucht:
a) behauptung:
1) maxM1 = [mm] \bruch{7}{2}
[/mm]
2) minM1 = -5
zu 1) n = 2 [mm] \in \IN [/mm] --> [mm] (-1)^{2} [/mm] (2 + [mm] \bruch{3}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{7}{2} \in [/mm] M1
für x [mm] \in [/mm] M1 mit n [mm] \ge [/mm] 2 gilt:
x = [mm] (-1)^{n} [/mm] (2 + [mm] \bruch{3}{n}) \le (-1)^{2} [/mm] (2 + [mm] \bruch{3}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{7}{2}
[/mm]
supM1 = [mm] \bruch{7}{2}, [/mm] denn jedes Maximum ist auch Supremum
zu2) n = 1 [mm] \in \IN [/mm] --> [mm] (-1)^{1} [/mm] (2 + [mm] \bruch{3}{1}) [/mm] = -5 [mm] \in [/mm] M1
für x [mm] \in [/mm] M1 mit n [mm] \ge [/mm] 1 gilt:
x = [mm] (-1)^{n} [/mm] (2 + [mm] \bruch{3}{n}) [/mm] = [mm] (-1)^{1} [/mm] (2 + [mm] \bruch{3}{1}) [/mm] = -5
infM1 = -5, denn jedes Minimum ist auch Infinum
b) behauptung: maxM2 = [mm] \bruch{14}{3}
[/mm]
m,n = 1 [mm] \in \IN [/mm] --> (- [mm] \bruch{1}{3})^{1} [/mm] + [mm] \bruch{5}{1} [/mm] = [mm] \bruch{14}{3} \in [/mm] M2
für x [mm] \in [/mm] M2 mit n [mm] \ge [/mm] 1 gilt
x = (- [mm] \bruch{1}{3})^{m} [/mm] + [mm] \bruch{5}{n}\le [/mm] (- [mm] \bruch{1}{3})^{1} [/mm] + [mm] \bruch{5}{1} [/mm] = [mm] \bruch{14}{3}
[/mm]
supM2 = [mm] \bruch{14}{3}
[/mm]
Behauptung: infM2 = 0
x= (- [mm] \bruch{1}{3})^{m} [/mm] + [mm] \bruch{5}{n} [/mm] > 0 für alle x [mm] \in [/mm] M2 --> 0 untere Schranke von M2
Es gibt kein minM2, denn dann müsste minM2 = infM2 = 0 sein, aber es gilt 0 [mm] \not\in [/mm] M2
bei c) weiß ich leider überhaupt keinen ansatz, rein vom bauchgefühl würde ich sagen es gibt weder inf noch sup bzw. max noch min, aber wie beweise ich das
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Creep |
Guten Morgen!
Zur c) habe ich "spontan" keine direkte Idee. Aber ich vermute, das was du auch vermutest.
Aber pass bei der b) auf! Du sagst 14/3 wäre ein Maximun.
Sei m=2 und n=1
=> [mm] (-1/3)^2+5/1= [/mm] 5 +1/9 > 4 + 2/3
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> bestimme für jede der folgenden mengen, ob sie ein supremum
> bzw. ein infinum bsitzt. falls ja, berechne es und
> entscheide, ob es in der jeweiligen mengeenthalten ist.
>
> c) M3
> = {x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| (x + a) (x + b)(x + c) > 0} wobei a < b< c
> fest
> bei c) weiß ich leider überhaupt keinen ansatz, rein vom
> bauchgefühl würde ich sagen es gibt weder inf noch sup bzw.
> max noch min, aber wie beweise ich das
Hallo,
bei c) geht es nicht darum, ob die durch f(x):=(x + a) (x + b)(x + c) definierte Funktion nach oben oder unten beschränkt ist. Das ist sie tatsächlich nicht.
Es geht hier aber um die x-Achse!
Zeichne Dir mal en paar solcher Funktionen, da wirst Du sehen, daß es links von einem bestimmten x-Wert keine pos. Funktionswerte mehr gibt, die Menge also durchaus nach unten beschränkt ist.
Nach oben findest Du allerdings keine Schranke, denn ab einem bestimmten x gibt's nur noch positive Funktionswerte.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Mo 05.11.2007 | | Autor: | cloui |
mhm was wäre denn wenn ich für x -a einsetzen würde -a + a gäbe ja 1 und -a + b und -a+ c gäbe ja etwas positives, wenn ich allerdings z.b -b einsetzen würde, wäre es ja negativ
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> mhm was wäre denn wenn ich für x -a einsetzen würde -a + a
> gäbe ja 1 und -a + b und -a+ c gäbe ja etwas positives,
> wenn ich allerdings z.b -b einsetzen würde, wäre es ja
> negativ
Hallo,
ich weiß jetzt überhaupt nicht, was Du mir sagen willst.
Aber unabhängig davon sag ich Dir was:
> x -a einsetzen würde -a + a gäbe ja 1
Unfug! Null kommt raus.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Mo 05.11.2007 | | Autor: | cloui |
>
> ich weiß jetzt überhaupt nicht, was Du mir sagen willst.
>
mhm dann schein ich die aufgabe wohl nicht zu verstehen :( sagen wollte ich damit, dass wenn man (-a) für x einsetzt auf alle fälle etwas positives rauskommt, würde ich (-b) oder (-c) einsetzen dann wäre es kleiner als 0
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> sagen wollte ich damit, dass wenn man (-a) für x einsetzt
> auf alle fälle etwas positives rauskommt, würde ich (-b)
> oder (-c) einsetzen dann wäre es kleiner als 0
Wenn Du -a, -b oder -c einsetzt, ist der Funktionswert =0.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Seiko |
| Aufgabe | Behauptung: infM2 = 0
x= (- $ [mm] \bruch{1}{3})^{m} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{5}{n} [/mm] $ > 0 für alle x $ [mm] \in [/mm] $ M2 --> 0 untere Schranke von M2 |
ich habe eine Frage zu deiner Behauptung von der unteren Schranke..
Ich habe als untere Schranke (- [mm] \bruch{1}{3}) [/mm] gewählt, da ich doch einfach für n einen sehr hohen Wert wählen kann, damit die Zahl [mm] \bruch{5}{n} [/mm] sehr gering wird ( also sich Wert 0 nähert) und für m bei (- [mm] \bruch{1}{3})^{m} [/mm] wähle ich dann 1... mache ich was falsch und übersehe etwas?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Seiko,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Ich erhalte als Infinum ebenfalls Dein Ergebnis [mm] $-\bruch{1}{3}$ [/mm] für den Fall mit $m \ = \ 1$ .
Gruß
Loddar
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 17:11 Mo 05.11.2007 | | Autor: | cloui |
upps was hab ich denn da gerechnet, hab die 2. aufgabe nochmal neu berechnet und bin auch auf -1/3 gekommen als inf. und was das max betrifft, stimmt das mit 5 1/9, ich hatte zwar mit m=2 und n =1 ausgerechnet gehabt, aber anscheinend hab ich mich auf meinem taschenrechner vertippt...peinlich :D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Seiko |
ah super, dann habe ich es doch richtig verstanden ^^ ehm,auch wenn es vielleicht lässtig wird,aber da wäre eine kleine Sache für mich noch offen (nur verständnisshalber).. Stimmt es denn, dass der Wert (- [mm] \bruch{1}{3}) [/mm] nur das Infinum ist und nicht das Minimum, da (- [mm] \bruch{1}{3}) [/mm] nicht [mm] \in [/mm] M2 ist, weil die Zahl [mm] \bruch{5}{n} [/mm] immer > 0 ist und die ja noch "draufaddiert" wird..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Seiko!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Richtig erkannt ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Seiko |
super vielen dank ^^ vorallem danke für deine schnellen antworten
dann kann ich die jetzt "sauber" aufs Blatt schreiben :P
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