Infimum und Supremum bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei M die Menge der reellen Zahlen [mm]a_n, n=1,2,...,\quad mit \quad a_n=1-\bruch{1}{n}[/mm]
dann gilt (richtig oder falsch) :
r=2 ist eine obere Schranke von M
Das Infimum von M ist Element von M |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die beiden Aussagen waren in der Musterlösung als richtig angegeben, mir ist nur nicht so ganz klar wieso. Das Infimum ist doch 0 weil durch null nicht geteilt werden darf, ich dachte aber null muss explizit dem Definitionsbereich zugefügt werden (was hier nicht gegeben ist)
Und wegen der oberen Schranke, ich sehe ... immer als unendlich an, damit nähert sich mein Ergebnis einem Grenzwert, hat aber keine obere Schranke ausser dem Supremum oder seh ich da jetzt was falsch??
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Hallo Jennilein und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Sei M die Menge der reellen Zahlen [mm]a_n, n=1,2,...,\quad mit \quad a_n=1-\bruch{1}{n}[/mm]
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> dann gilt (richtig oder falsch) :
> r=2 ist eine obere Schranke von M
> Das Infimum von M ist Element von M
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Die beiden Aussagen waren in der Musterlösung als richtig
> angegeben, mir ist nur nicht so ganz klar wieso. Das
> Infimum ist doch 0 weil durch null nicht geteilt werden
> darf, ich dachte aber null muss explizit dem
> Definitionsbereich zugefügt werden (was hier nicht gegeben
> ist)
Nein, wie lautet die Definition von "Infimum"?
Das ist die größte untere Schranke von $M$, nennen wir sie $s$
Und für alle Elemente [mm] $x\in [/mm] M$ gilt: [mm] $x\ge [/mm] s$
Mache dir mal klar, dass die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}=\left(1-\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] eine monoton wachsende Folge mit lauter nicht-negativen Gliedern ist.
Zeige dazu: [mm] $a_{n+1}\ge a_n$
[/mm]
Damit ist klar, dass [mm] $a_1$ [/mm] das kleinste Folgenglied ist, das berechne mal, es liegt dann natürlich in der Menge $M$, die ja alle Folgenglieder [mm] $a_n$ [/mm] enthält
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> Und wegen der oberen Schranke, ich sehe ... immer als
> unendlich an, damit nähert sich mein Ergebnis einem
> Grenzwert, hat aber keine obere Schranke ausser dem
> Supremum oder seh ich da jetzt was falsch??
Eine obere Schranke ist nicht eindeutig, es ist einfach eine (reelle) Zahl $t$, so dass für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt [mm] $a_n\le [/mm] t$
Wenn du eine größere Zahl $t'$ mit $t<t'$ nimmst, so ist diese natürlich auch eine obere Schranke, denn [mm] $a_n\le [/mm] t<t' \ [mm] \Rightarrow a_n
Wie gesagt, die Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] ist monoton wachsend, und es ist [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=1-0=1$
[/mm]
Also ist 1 eine obere Schranke und mit dem eben Gesagten dann natürlich auch jede größere Zahl, so etwa 2
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Mi 13.01.2010 | | Autor: | jennilein |
vielen Dank für das herzliche Willkommen und die schnelle Antwort, habe deine Erklärung sofort nachvollziehen können und das obwohl das Alles neu für mich ist (freu)
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