Infimum und Maximum < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Mi 01.11.2006 | | Autor: | tzepf |
| Aufgabe | | [mm] \left\{ x + \bruch{1}{x} : 0 < x \le 5 \right\} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
ich soll diese Funktion auf Infimum, Supremum, Minimum und MAximum untersuchen.
Als Schüler hätte ich wohl mit Hoch und Tiefpunkten gearbeitet, aber an der Uni ist das (noch) nicht erlaubt.
Wie kann man sowas anhand der Definiton für Supremum und Infimum beweisen?
Für Tipps bin ich dankbar.
Viele Grüße
Tobias Zepf
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> [mm]\left\{ x + \bruch{1}{x} : 0 < x \le 5 \right\}[/mm]
> ich soll diese Funktion auf Infimum, Supremum, Minimum und
> MAximum untersuchen.
>
> Als Schüler hätte ich wohl mit Hoch und Tiefpunkten
> gearbeitet, aber an der Uni ist das (noch) nicht erlaubt.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Daß Du jetzt nicht daherkommen darfst mit Ableitungen und Co. hast Du völlig richtig erkannt.
Allerdings - die Uni muß nicht alles wissen.
Wenn Dir im Traum ein Engel erscheint und Dir das Infimum zuflüstert, ist das nicht verboten.
Nur - auf Deiner Hausübung darf nicht stehen: der Engel hat gesagt, daß 1,27 das Infinmum ist.
Sondern Du schreibst: "Beh.: es ist 1,27 das Infimum der fraglichen Menge."
Wodurch Du Dich auf Deinem Schmierzettel inspirieren läßt, ist völlig wurscht. Es kommt darauf an, daß Du es dann mit den erlaubten Methoden beweisen kannst.
Ich selbst würde eine kleine Skizze machen, Du anscheinend eine Kurvendiskussion, andere werden 10 Werte berechnen - alle wollen das eine : eine Vermutung, die sie beweisen können.
Wenn ich Deine Frage richtig verstanden habe, ist sie nun beantwortet.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Mi 01.11.2006 | | Autor: | tzepf |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort. Das leuchtet mir ein. Meine "Annahme" ist also das das infimum bei 2 liegt, da (1/2) der Tiefpunkt ist.
Den BEweis soll ich dann wie folgt führen:
[mm] \gamma = \inf A \gdw \forall \varepsilon > 0 \quad \exists x \in A \quad x < \gamma + \varepsilon[/mm]
wäre bei mir also
[mm]x < 2 + \varepsilon[/mm]
ich verstehe jetzt aber nicht wie ich weiter verfahren soll. zumal der beweis mich verwirrt. ich verstehe nicht ganz warum [mm]x < \gamma + \varepsilon[/mm] ist, da x doch größer sein soll wie [mm]\gamma[/mm], da [mm]\gamma[/mm] doch das infimum ist. oder was ist hier mit dem x gemeint?
wie ist der beweis nun konkret zu führen?
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> Meine
> "Annahme" ist also das das infimum bei 2 liegt, da (1/2)
> der Tiefpunkt ist.
Ja, das wäre auch meine Annahme.
>
> Den BEweis soll ich dann wie folgt führen:
Wer sagt das?
Oder anders:
>
> [mm]\gamma = \inf A \gdw \forall \varepsilon > 0 \quad \exists x \in A \quad x < \gamma + \varepsilon[/mm]
Habt Ihr SO in der Vorlesung das Infimum DEFINIERT? Das kann ich kaum glauben, es würde ja für z.B. für Teilmengen der natürlichen Zahlen gar nicht funktionieren!
Guck da nochmal nach.
Eigentlich ist die Definition für Infimum ja die: es ist die größte untere Schranke, d.h. es ist 1. eine untere Schranke ,
und 2.jede andere untere Schranke ist ist kleiner
Um das zu beweisen würde ich zunächst zeigen, daß x + [mm] \bruch{1}{x} [/mm] im zu betrachtenden Intervall [mm] \ge [/mm] 2 ist. (Ich habe das gerade eben getan, indem ich die x, die kleiner sind als 2 und die, die größer sind, gesondert betrachtet habe und abgeschätzt. Das ging recht gut, bestimmt geht's aber auch noch anders. Hast Du schon gezeigt - mit erlaubten Mitteln - daß der term stets [mm] \ge [/mm] 2?)
Wenn man das erledigt hat, hat man gezeigt, daß 2 eine untere schranke ist.
Und just in diesem Moment geht mir auf, was Du mit Deiner [mm] \gamma [/mm] - Geschicht oben sagen wolltest!!!
Jetzt geht es nämlich so weiter:
Angenommen, 2 wäre nicht die größte untere Schranke. Dann gäbe es eine untere Schranke [mm] \gamma, [/mm] welche größer ist als 2. Klar bis hier?
Wenn es so ein [mm] \gamma [/mm] gibt, kann man es schreiben als [mm] \gamma=2+ \varepsilon [/mm] mit [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Klar???
Wenn dieses [mm] \gamma [/mm] eine untere Schanke ist, ist [mm] \gamma=2+ \varepsilon [/mm] < x + [mm] \bruch{1}{x} [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] (0,5].
Diese Aussage mußt Du zu einem Widerspruch führen. (Bei mir lautet der Widerspruch: [mm] \varepsilon [/mm] =0 ). dann weißt Du: es gibt keine größere untere Schranke als 2.
Also ist 2 die größte untere Schranke und somit das Infimum.
Gruß v. Angela
>
> wäre bei mir also
> [mm]x < 2 + \varepsilon[/mm]
>
> ich verstehe jetzt aber nicht wie ich weiter verfahren
> soll. zumal der beweis mich verwirrt. ich verstehe nicht
> ganz warum [mm]x < \gamma + \varepsilon[/mm] ist, da x doch größer
> sein soll wie [mm]\gamma[/mm], da [mm]\gamma[/mm] doch das infimum ist. oder
> was ist hier mit dem x gemeint?
>
> wie ist der beweis nun konkret zu führen?
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