Infimum, Supremum, Max., Min. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Do 22.10.2009 | | Autor: | jales |
| Aufgabe | Man bestimme - falls existent - jeweils Infimum und Supremum der folgenden Mengen und untersuche, ob diese Mengen Maximum bzw. Minimum besitzen:
a) [mm] \IF_{1} [/mm] := { [mm] (-1)^{n+1}(1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n+1}) [/mm] | n [mm] \in \IN [/mm] }
b) [mm] \IF_{2} [/mm] := { [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{m+1} [/mm] | m,n [mm] \in \IN [/mm] }
c) [mm] \IF_{3} [/mm] := { x [mm] \in \IR [/mm] | x² + x + 1 [mm] \ge [/mm] 0 }
d) [mm] \IF_{4} [/mm] := { x [mm] \in [/mm] IQ | x² < 9 } |
Ich verstehe nicht so recht den Unterschied zwischen Maximum und Supremum / Minimum und Infimum.
Die erste Menge enthält ja keine Zahlen die kleiner sind als -2, oder etwa nicht ? Ist dies dann das Minimum der Menge, oder das Infimum der Menge, oder vielleicht beides ?
Was wäre ein Beispiel für eine Menge, die zwar ein Infimum besitzt, jedoch kein Minimum ? Stehe gerade ein wenig auf dem Schlauch ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Do 22.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Man bestimme - falls existent - jeweils Infimum und
> Supremum der folgenden Mengen und untersuche, ob diese
> Mengen Maximum bzw. Minimum besitzen:
>
> a) [mm]\IF_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { [mm](-1)^{n+1}(1[/mm] + [mm]\bruch{1}{n+1})[/mm] | n [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
>
> b) [mm]\IF_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{m+1}[/mm] | m,n [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
>
> c) [mm]\IF_{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { x [mm]\in \IR[/mm] | x² + x + 1 [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 }
>
> d) [mm]\IF_{4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
IQ | x² < 9 }
> Ich verstehe nicht so recht den Unterschied zwischen
> Maximum und Supremum / Minimum und Infimum.
> Die erste Menge enthält ja keine Zahlen die kleiner sind
> als -2, oder etwa nicht ?
Stimmt
> Ist dies dann das Minimum der
> Menge, oder das Infimum der Menge, oder vielleicht beides ?
Weder noch ! Für n=1 erhälst Du $-3/2 \in \IF_{1}$ . Gibt es in \IF_{1} kleinere Elemente ?
> Was wäre ein Beispiel für eine Menge, die zwar ein
> Infimum besitzt, jedoch kein Minimum ? Stehe gerade ein
> wenig auf dem Schlauch ...
Zur Klärung: ist M \subseteq \IR nach unten beschränkt, so ist das Infimum von M die größte untere Schranke von M. Nennen wir diese Zahl mal m.
Ist m \in M , so ist m das Minimum von M. Ist m \notin M, so gibt es kein Minimum.
Beispiele: (1) M = { 1 , 1/2, 1/3, .... } = { 1/n : n \in \IN }
Es ist 0 = inf(M), aber 0 \notin M.
(2) M = [5, \infty). Hier ist 5 = inf(M) = min(M)
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Do 22.10.2009 | | Autor: | jales |
Also ich erhalte den größten Wert bei [mm] \IF_{1} [/mm] doch für n = 1 mit 1,5 [mm] \in \IF_{1}. [/mm]
Den kleinsten Wert erhalte ich für n = 2 mit [mm] -\bruch{4}{3} \in \IF_{1}.
[/mm]
Das sind die kleinsten, bzw. größten Werte, die in der Menge vorkommen, oder ? Woher weiß ich jetzt, ob diese beiden Werte gleichzeitig auch die obere, bzw. untere Schranke sind?
Wie kann ich die obere / untere Schranke berechnen ? Aus der Definition, die wir in der Vorlesung hatten wäre dieser kleinste und größte Wert der Menge auch das inf und sup der Menge. Und da die Werte für inf und sup in der Menge liegen, wären sie auch gleichzeitig Minimum bzw. Maximum ?
Warum ist bei ihrem Beispiel (1) das Inf = 0, der größte Wert der Menge ist doch 1 ? Ich verstehe nicht so recht, wie ich die beiden Schranken berechnen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Do 22.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also ich erhalte den größten Wert bei [mm]\IF_{1}[/mm] doch für n
> = 1 mit 1,5 [mm]\in \IF_{1}.[/mm]
> Den kleinsten Wert erhalte ich für n = 2 mit [mm]-\bruch{4}{3} \in \IF_{1}.[/mm]
Ja , Du hast recht, da hab ich mich oben vertan, pardon
>
> Das sind die kleinsten, bzw. größten Werte, die in der
> Menge vorkommen, oder ? Woher weiß ich jetzt, ob diese
> beiden Werte gleichzeitig auch die obere, bzw. untere
> Schranke sind?
>
> Wie kann ich die obere / untere Schranke berechnen ? Aus
> der Definition, die wir in der Vorlesung hatten wäre
> dieser kleinste und größte Wert der Menge auch das inf
> und sup der Menge. Und da die Werte für inf und sup in der
> Menge liegen, wären sie auch gleichzeitig Minimum bzw.
> Maximum ?
>
>
> Warum ist bei ihrem Beispiel (1) das Inf = 0, der größte
> Wert der Menge ist doch 1 ? Ich verstehe nicht so recht,
> wie ich die beiden Schranken berechnen kann.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 Do 22.10.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> a) [mm]\IF_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { [mm](-1)^{n+1}(1[/mm] + [mm]\bruch{1}{n+1})[/mm] | n [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
>
> b) [mm]\IF_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{m+1}[/mm] | m,n [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
>
> c) [mm]\IF_{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { x [mm]\in \IR[/mm] | x² + x + 1 [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 }
>
> d) [mm]\IF_{4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
IQ | x² < 9 }
> Ich verstehe nicht so recht den Unterschied zwischen
> Maximum und Supremum / Minimum und Infimum.
> Die erste Menge enthält ja keine Zahlen die kleiner sind
> als -2, oder etwa nicht ? Ist dies dann das Minimum der
> Menge, oder das Infimum der Menge, oder vielleicht beides ?
Also wenn bei euch, so wie bei mir damals, die natürlichen Zahlen über die Peano-Dedekind-Axiome eingeführt wurden und somit die 0 eine natürliche Zahl bei euch ist, dann ist -2 sowohl Minimimum als auch Infimum und du hättest völlig recht.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Do 22.10.2009 | | Autor: | jales |
Wäre dann bei b) 2 das Sup und gleichzeitig Maximum ?
Was mir nicht einleuchtet ist, wie ich ein Supremum erkenne, wenn es nicht in der Menge drin liegt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Do 22.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo jales!
Ist bei euch die Null in [mm] $\IN$ [/mm] enthalten? Dann stimmt Deine Behauptung.
Nach meiner Auffassung gehen natürlichen Zahlen erst bei $1_$ los mit [mm] $\IN [/mm] \ \ = \ [mm] \left\{1;2;3;4;... \ \right\}$ [/mm] .
Dann stimmt Dein genannter Wert nicht.
Gruß
Loddar
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Hallo,
> Was mir nicht einleuchtet ist, wie ich ein Supremum
> erkenne, wenn es nicht in der Menge drin liegt.
Betrachte doch hierzu mal die einfachen Mengen: [mm] \{x \in \IR: x<2 \} [/mm] bzw. [mm] \{x \in \IQ: x<2 \}.
[/mm]
Was wäre hier das Supremum, hat diese Menge ein Maximum...?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Fr 23.10.2009 | | Autor: | jales |
>> Betrachte doch hierzu mal die einfachen Mengen: $ [mm] \{x \in \IR: x<2 \} [/mm] $ bzw. $ [mm] \{x \in \IQ: x<2 \}. [/mm] $
Was wäre hier das Supremum, hat diese Menge ein Maximum...? <<
Das Supremum wäre 2 und es existiert kein Maximum ? Könnte man das so erklären, dass die obere Grenze die 2 ist, x diese 2 jedoch niemals erreichen würde ?
Wenn das stimmt, wäre bei der Menge $ [mm] \{x \in \IR: x\le2 \} [/mm] $ das Supremum = Maximum = 2 ? Dann hätte ich es, glaube ich, endlich verstanden ..
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> >> Betrachte doch hierzu mal die einfachen Mengen: [mm]\{x \in \IR: x<2 \}[/mm]
> bzw. [mm]\{x \in \IQ: x<2 \}.[/mm]
> Was wäre hier das Supremum, hat
> diese Menge ein Maximum...? <<
>
> Das Supremum wäre 2 und es existiert kein Maximum ?
genau
> Könnte man das so erklären, dass die obere Grenze die 2
> ist, x diese 2 jedoch niemals erreichen würde ?
Oder besser ausgedrückt: 2 ist offensichtlich eine obere Schranke, aber [mm] \forall [/mm] x<2 [mm] \exists [/mm] y in der Menge für das gilt: y>x.
>
> Wenn das stimmt, wäre bei der Menge [mm]\{x \in \IR: x\le2 \}[/mm]
> das Supremum = Maximum = 2 ? Dann hätte ich es, glaube
> ich, endlich verstanden ..
Ja, das stimmt auch.
Generell kannst dir noch merken, wenn das Supremum einer Menge nicht in der Menge drinliegt, hat diese Menge kein Maximum, (das ist beim Infimum und Minimum analog).
Viele Grüße
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| Aufgabe | | c) [mm] M_{3}:= [/mm] {x [mm] \in \IR [/mm] | [mm] x^{2}+x+1 \ge [/mm] 0} |
Ich verstehe die Schreibweise nicht so ganz. Heißt das jetzt so viel wie:
Für alle x [mm] \in \IR [/mm] die folgendes erfüllen [mm] x^{2}+x+1 \ge [/mm] 0?
Sehe ich das dann richtig das [mm] M_{3} [/mm] = [mm] \IR [/mm] ist?
und sind dann sup [mm] (M_{3}) [/mm] = [mm] \infty [/mm] und inf [mm] (M_{3}) [/mm] = [mm] -\infty [/mm] ?
Danke für ihre Antwort
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 26.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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