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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:20 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Slyke |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die folgenden Mengen ein Infimum, Supremum, Minimum bzw. Maximum haben und bestimmen Sie gegebenfalls deren Werte.
(1) [mm] $\{(-1)^n + \bruch{1}{n} : n \in \IN\}$;
[/mm]
(2) [mm] $\{x^2 - x + 2 : x \in \IR\}$;
[/mm]
(3) [mm] $\{\bruch{x|x|}{1+x^2} : x \in \IR\}.$ [/mm] |
Hallo wieder mal^^
also meine heute Frage ist wie kann man hier die Beweise bzw. wie kann man die oben genannten Sachen herausfinden?
Für die 1 hatte ich einfach Zahlen eingesetzt bis ich mir daraus denken konnte was es sein sollte. Also zb das sup = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] , doch nun steh ich auf dem Schlauch, da wenn man ungerade Zahlen eingibt so erhält man - Werte. Heißt das, dass Inf = 0 ist oder kann es wirklich noch in den negativen Bereich gehen?
Danke vielmals schon mal :)
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:05 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie, ob die folgenden Mengen ein Infimum,
> Supremum, Minimum bzw. Maximum haben und bestimmen Sie
> gegebenfalls deren Werte.
> (1) [mm]\{(-1)^n + \bruch{1}{n} : n \in \IN\}[/mm];
> (2) [mm]\{x^2 - x + 2 : x \in \IR\}[/mm];
>
> (3) [mm]\{\bruch{x|x|}{1+x^2} : x \in \IR\}.[/mm]
>
>
> Hallo wieder mal^^
>
> also meine heute Frage ist wie kann man hier die Beweise
> bzw. wie kann man die oben genannten Sachen herausfinden?
>
> Für die 1 hatte ich einfach Zahlen eingesetzt bis ich mir
> daraus denken konnte was es sein sollte. Also zb das sup =
> [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
das ist richtig, und das Supremum ist ein Maximum [mm] ($n=2\,$). [/mm] Beweis' das mal!
> , doch nun steh ich auf dem Schlauch, da wenn
> man ungerade Zahlen eingibt so erhält man - Werte.
Richtig!
> Heißt
> das, dass Inf = 0 ist
Wie soll das Infimum der Menge denn [mm] $0\,$ [/mm] sein, wenn schon [mm] $(-1)^3+1/3=-2/3\,$
[/mm]
ist, in der Menge liegt und offenbar $-2/3 < 0$ gilt?
> oder kann es wirklich noch in den
> negativen Bereich gehen?
Natürlich, das hättest Du auch leicht selbst prüfen können (für [mm] $n\,$ [/mm] eine ungerade Zahl
einsetzen).
Was das Infimum der Menge betrifft:
Ich behaupte, dass dieses $-1$ ist. (Tipp: Zeichne Dir doch einfach mal im [mm] $\IR^2$
[/mm]
den Verlauf der Punkte $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit [mm] $x=n\,$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] und [mm] $y=(-1)^n+1/n$ [/mm] auf -
dann erahnt man schon durch hinsehen, was hier das Supremum und das Infimum
der Menge ist...)
Zeige: Für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt $-1 [mm] \le (-1)^n+1/n$ [/mm] (Fallunterscheidung: [mm] $n\,$ [/mm] gerade oder
[mm] $n\,$ [/mm] ungerade!)
Zeige weiterhin: Ist [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest, so gibt es ein [mm] $N=N_\epsilon \in \IN$ [/mm]
so, dass ein Element [mm] $(-1)^N+1/N$ [/mm] Deiner Menge unter [mm] $-1+\epsilon$ [/mm] liegt!
Zum Supremum=Maximum: Überleg', wie man (in ähnlicher, also analoger) Weise
beweist, dass [mm] $3/2\,$ [/mm] das Supremum Deiner Menge ist. Und dann bedenke, dass ich
oben schon begründet habe, warum [mm] $3/2\,$ [/mm] zu Deiner Menge gehört!
Gruß,
Marcel
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Hallo Slyke!
> (2) [mm]\{x^2 - x + 2 : x \in \IR\}[/mm]
Die Kurve dieser Punktmenge bildet eine (quadratische) Parabel.
Wenn Du $y \ = \ [mm] x^2-x+2$ [/mm] z. B. durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktsform umwandelst, kannst Du die gesuchten Werte direkt ablesen und erkennen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 So 28.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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