Induktiv definierte Menge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sind A eine beliebige, nichtleere Menge und f: A x A [mm] \to [/mm] A eine Abbildung.
Eine Folge von Teilmengen [mm] M_{n} \subseteq [/mm] A für n [mm] \in \IN [/mm] ist induktiv so definiert:
[mm] M_{0}=A
[/mm]
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN_{0}: A_{n+1} [/mm] = {f(x) | x [mm] \in A_{n} [/mm] }
Angenommen für eine bestimmte Zahl k [mm] \in \IN_{0} [/mm] gilt, dass [mm] A_{k+1} \subseteq A_{k} [/mm] ist. Beweisen sie, dass dann auch [mm] A_{k+2} \subseteq A_{k+1} [/mm] ist. |
Hallo,
ich kann mir im Kopf vorstellen, warum das so ist.
Ich kann es jedoch nicht (mathematisch) aufs Papier bringen.
Mein Gedanke: Wenn es einmal soweit gekommen ist, dass [mm] A_{k+1} [/mm] eine Teilmenge von [mm] A_{k} [/mm] ist, dann haben die beiden die gleichen Elemente, oder [mm] A_{k+1} [/mm] hat weniger.
Weil [mm] A_{k+1} [/mm] = [mm] f(A_{k}) [/mm] ist, und [mm] A_{k+2} [/mm] = [mm] f(A_{k+1}) [/mm] ist, [mm] A_{k+1} [/mm] aber die gleichen Elemente hat wie [mm] A_{k}, [/mm] hat auch [mm] A_{k+2} [/mm] die gleichen (oder weniger von den gleichen) Elemente wie [mm] A_{k+1}. [/mm]
Stimmt das so, und wie bringe ich das richtig zu Papier?
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:53 Mo 04.11.2013 | | Autor: | fred97 |
1.bezeicnungschaos ! Es soll wohl [mm] M_n=A_n [/mm] sein !
2. Der Def.-bereich von f kann kaum AxA sein, denn schauen wir uns mal [mm] A_1 [/mm] an:
[mm] A_1=\{f(x): x \in A\}
[/mm]
Daher vermute ich f:A [mm] \to [/mm] A. Davon gehe ich jetzt mal aus.
Zur Aufgbe:
Sei y [mm] \in A_{k+2}. [/mm] Dann gibt es ein x [mm] \in A_{k+1} [/mm] mit: y=f(x).
Da $ [mm] A_{k+1} \subseteq A_{k} [/mm] $ gilt, ist x [mm] \in A_k.
[/mm]
Jetzt Du.
FRED
|
|
|
|
