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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Induktionsschritt
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Induktionsschritt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Mo 03.10.2011
Autor: racy90

Hallo,

Ich stehe grad an bei einen schwierigen Induktionsbeweis.

[mm] cos(x)*cos(2x)*cos(4x)*cos(8x)*.....*cos(2^{n-1}x)=\bruch{sin(2^nx}{2^n*sin(x)} [/mm]

Weiters steht man soll die Identität 2cos(x)*sin(x)=sin(2x) benutzen

der I.A klappt noch wunderbar aber beim Schritt endet es im Chaos.

I.s : [mm] cos(x)*cos(2x)*cos(4x)*cos(8x)*.....*cos(2^{n-1}x)*cos(2^{n+1-1}x)=\bruch{sin(2^{n+1}x}{2^{n+1}*sin(x)} [/mm]

Nun kann ich ja wie bei jeder anderen Induktion auf der linken Seite [mm] cos(x)*cos(2x)*cos(4x)*cos(8x)*.....*cos(2^{n-1}x) [/mm] durch [mm] \bruch{sin(2^nx}{2^n*sin(x)} [/mm] ersetzen oder? aber ich sehe mich nicht heraus :/


        
Bezug
Induktionsschritt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:51 Mo 03.10.2011
Autor: reverend

Hallo racy,

> Ich stehe grad an bei einen schwierigen Induktionsbeweis.
>  
> [mm]cos(x)*cos(2x)*cos(4x)*cos(8x)*.....*cos(2^{n-1}x)=\bruch{sin(2^nx}{2^n*sin(x)}[/mm]
>  
> Weiters steht man soll die Identität
> 2cos(x)*sin(x)=sin(2x) benutzen
>  
> der I.A klappt noch wunderbar aber beim Schritt endet es im
> Chaos.
>  
> I.s :
> [mm]cos(x)*cos(2x)*cos(4x)*cos(8x)*.....*cos(2^{n-1}x)*cos(2^{n+1-1}x)=\bruch{sin(2^{n+1}x}{2^{n+1}*sin(x)}[/mm]
>  
> Nun kann ich ja wie bei jeder anderen Induktion auf der
> linken Seite
> [mm]cos(x)*cos(2x)*cos(4x)*cos(8x)*.....*cos(2^{n-1}x)[/mm] durch
> [mm]\bruch{sin(2^nx}{2^n*sin(x)}[/mm] ersetzen oder?

Ja, genau. Außerdem brauchst Du noch die Umformung [mm] 2^{n+1}=2*2^n=2^n+2^n [/mm]

Rechne doch mal vor.

Grüße
reverend


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Bezug
Induktionsschritt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:01 Mo 03.10.2011
Autor: racy90

Okay dann hab ich nachdem ich den Ausdruck ersetzt habe stehen:

[mm] \bruch{sin(2^nx}{2^n\cdot{}sin(x)}*cos(2^nx)=\bruch{sin(2^n+2^nx}{2^n+2^n\cdot{}sin(x)} [/mm]

Bezug
                        
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Induktionsschritt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 Mo 03.10.2011
Autor: TheBozz-mismo

Hallo
> Okay dann hab ich nachdem ich den Ausdruck ersetzt habe
> stehen:
>  

[mm] \bruch{sin(2^nx)}{2^n\cdot{}sin(x)}*cos(2^nx) [/mm]
Jetzt mit 2 erweitern
[mm] \bruch{2*sin(2^nx)*cos(2^nx)}{2^{n+1}\cdot{}sin(x)} [/mm]  
Und jetzt verwendest du die angegebene Identität und du bist fertig!

Gruß
TheBozz-mismo

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Induktionsschritt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:16 Mo 03.10.2011
Autor: racy90

dann steht aber links :

[mm] \bruch{sin(2x)}{2^{n+1}\cdot{}sin(x)} [/mm]

und rechts:

[mm] \bruch{sin(2^{n+1}x}{2^{n+1}sin(x)} [/mm]

Im Zähler stimmt es dann doch nicht oder?

Bezug
                                        
Bezug
Induktionsschritt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:27 Mo 03.10.2011
Autor: reverend

Hallo nochmal,

so kurz davor...

Du hattest $ [mm] \bruch{\sin{(2^nx)}}{2^n*\sin{(x)}}*\cos{(2^nx)}=\bruch{\sin{(2^n+2^n)x}}{(2^n+2^n)*\sin{(x)}} [/mm] $
- auch wenn noch ein paar Klammern fehlten.

Multiplizieren mit [mm] 2^{n+1}\sin{(x)}: [/mm]

[mm] 2*\sin{(2^{n}x)}\cos{(2^{n}x)}=\sin{(2*2^{n}x)} [/mm]

Fertig. Das ist die zu verwendende Identität, das wohl bekannteste aller Additionstheoreme, auch Doppelwinkelsatz genannt.

Grüße
reverend


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Induktionsschritt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:35 Mo 03.10.2011
Autor: racy90

okay danke :)

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