Induktionsschritt < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 So 29.10.2006 | | Autor: | sansunny |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für alle n [mm] \in \IN, [/mm] n > 1, die folgenden Beziehungen gelten:
(1+ [mm] \bruch{1}{n²-1} )^{n} [/mm] > 1 + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich wollte die Aufgebae per Induktion lösen, da mir kein anderer Weg eingefalen ist.
Für n=2 hatte ich es schon beweisen und nun komme ich beim Induktions schritt nicht weiter:
Hier mal mein Ansatz:
(1 + [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] * (1+ [mm] \bruch{1}{n²-1} [/mm] ) soll 1 + [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] betragen.
(1 + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ) * (1+ [mm] \bruch{1}{n²-1} [/mm] )
ausgeklammert und Nenner gleich gemacht
[mm] =\bruch{(n(n²-1)+n+(n²-1)+1)}{n(n²-1)}
[/mm]
zusammengefasst
= [mm] \bruch{(n^{3} + n²)}{n(n²-1)}
[/mm]
dann hab ich halt noch das eine ne weggekürzt, sodass ich auf
= [mm] \bruch{(n^{2} + n)}{(n²-1)}
[/mm]
kam, aber nun komm eich nicht weiter =(
kann mir da wer nen Tipp geben? oder lässt es sich so nicht lösen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 So 29.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo sunsonny
> Zeigen Sie, dass für alle n [mm]\in \IN,[/mm] n > 1, die folgenden
> Beziehungen gelten:
>
> (1+ [mm]\bruch{1}{n²-1} )^{n}[/mm] > 1 + [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Ich würd das erstmal "schöner" hinschreiben also:
[mm] \bruch{n^{2n}}{(n+1)^n*(n-1)^n}=\bruch{n+1}{n}
[/mm]
dann noch besser [mm] (n+1)^n [/mm] und [mm] n^n [/mm] auf die rechte Seite, dann sieht es schon viel besser aus und dann anfangen mit beweisen!
> Ich wollte die Aufgebae per Induktion lösen, da mir kein
> anderer Weg eingefalen ist.
> Für n=2 hatte ich es schon beweisen und nun komme ich beim
> Induktions schritt nicht weiter:
> Hier mal mein Ansatz:
>
> (1 + [mm]\bruch{1}{n})[/mm] * (1+ [mm]\bruch{1}{n²-1}[/mm] ) soll 1 +
> [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] betragen.
>
> (1 + [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ) * (1+ [mm]\bruch{1}{n²-1}[/mm] )
> ausgeklammert und Nenner gleich gemacht
> [mm]=\bruch{(n(n²-1)+n+(n²-1)+1)}{n(n²-1)}[/mm]
> zusammengefasst
> = [mm]\bruch{(n^{3} + n²)}{n(n²-1)}[/mm]
> dann hab ich halt noch
> das eine ne weggekürzt, sodass ich auf
> = [mm]\bruch{(n^{2} + n)}{(n²-1)}[/mm]
> kam, aber nun komm eich
> nicht weiter =(
Hab deine Rechng nicht überprüft, aber das letzte ergibt:
[mm]\bruch{(n^{2} + n)}{(n²-1)}= bruch{(n^{2} + n)}{(n-1)*n+1)}= \bruch{ n)}{(n-1)}[/mm]
Und du kannst bei vollst Ind. mit Ungleichungen fast nie Gleichheiten beweisen sondern nur < oder >
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 So 29.10.2006 | | Autor: | sansunny |
Oh okay, stimmt ich habe nicht an die Binomische Formel gedacht:
dann habe ich ja noch:
[mm] \bruch{n}{n-1} [/mm] > [mm] \bruch{n+2}{n+1}
[/mm]
wie kann ich da jetzt einfach feststellen das das stimmt? und somit bewiesen ist.
einfach weil im nenner (n+1) eine kleinere Zahl ergibt als (n-1) ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 So 29.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Oh okay, stimmt ich habe nicht an die Binomische Formel
> gedacht:
>
> dann habe ich ja noch:
>
> [mm]\bruch{n}{n-1}[/mm] > [mm]\bruch{n+2}{n+1}[/mm]
>
> wie kann ich da jetzt einfach feststellen das das stimmt?
> und somit bewiesen ist.
>
> einfach weil im nenner (n+1) eine kleinere Zahl ergibt als
> (n-1) ??
Ganz so einfach ist es nicht.
[mm] \bruch{n}{n-1}>\bruch{n+2}{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{n(n+1)}{(n-1)(n+1)}>\bruch{(n+2)(n-1}{(n+1)(n-1)}
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{n(n+1)}{(n-1)(n+1)}-\bruch{(n+2)(n-1}{(n+1)(n-1)}>0
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{n(n+1)-((n+2)(n-1)}{(n+1)(n-1)}>0
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{n²+n-[n²+2n-n-2]}{n²-1}>0
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{2}{n²-1}>0
[/mm]
Marius
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Hallo,
> Zeigen Sie, dass für alle n [mm]\in \IN,[/mm] n > 1, die folgenden
> Beziehungen gelten:
>
> (1+ [mm]\bruch{1}{n²-1} )^{n}[/mm] > 1 + [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich wollte die Aufgebae per Induktion lösen, da mir kein
> anderer Weg eingefalen ist.
Hm, schonmal mit Bernoullischer Ungleichung probiert? Müßte hier funktionieren  .
Gruß
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 So 29.10.2006 | | Autor: | sansunny |
Erstmal danke für eure Hilfe, jetzt ist mir aber noch eine Frage aufgekommen.
Wenn ich (n+1), aus dem n mache, muss ich das doch für alle n machen stimmts?
also müsste ich doch dann aus dem 1+ [mm] \bruch{1}{n²-1}
[/mm]
auch 1+ [mm] \bruch{1}{(n+1)²-1}
[/mm]
machen stimmts?
*nochmal alles durchrechnet*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 So 29.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Erstmal danke für eure Hilfe, jetzt ist mir aber noch eine
> Frage aufgekommen.
>
> Wenn ich (n+1), aus dem n mache, muss ich das doch für alle
> n machen stimmts?
>
> also müsste ich doch dann aus dem 1+ [mm]\bruch{1}{n²-1}[/mm]
> auch 1+ [mm]\bruch{1}{(n+1)²-1}[/mm]
> machen stimmts?
Ja,
aber wenn du von vorn anfängst, warum dann nicht mit der "schöneren" viel sym. Formel, die du vielleicht direkt beweisen kannst? (mein erster post)
Gruss leduart
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