Induktionsschluss < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Do 19.04.2012 | | Autor: | Bluma89 |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollstandige Induktion, dass
[mm] 2^{n} \le [/mm] n!, [mm] n\ge4 [/mm] |
Mein Problem bei der Induktion von Ungleichungen ist bisher immer, dass ich nicht weiß wann sie hinreichend bewiesen sind:
Hier mein Beweis, es wäre nett wenn ihr mir sagt, ob folgendes ausreicht bzw welchen weg man mathematisch korrekt gehen könnte:
Induktionsansatz: für n=4 = wahr
Induktionsannahme: [mm] 2^{n} \le [/mm] n! für [mm] n\ge4
[/mm]
Induktionsschluss: [mm] 2^{n+1} \le [/mm] (n+1)! = [mm] 2*2^{n} \le [/mm] n!(n+1)
Durch [mm] n\ge4 [/mm] ist [mm] 2\le(n+1) [/mm] immer wahr. Unter Verwendung der Induktionsannahme gilt somit: [mm] 2^{n} \le [/mm] n! für ein beliebiges [mm] n\ge4
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Do 19.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo bluma!
> Induktionsschluss: [mm]2^{n+1} \le[/mm] (n+1)! = [mm]2*2^{n} \le[/mm] n!(n+1)
Diese (Un-)Gleichheitskette stimmt so nicht, da Du hier mittendrin behauptest, dass gilt: [mm](n+1)! \ = \ 2*2^n[/mm] .
Zum anderen solltest Du auch die Induktionsvoraussetzung verwenden. Ungefähr so:
[mm]2^{n+1} \ = \ 2* \ \red{2^n} \ \red{\le} \ 2*\red{n!} \ ... \ \le \ \blue{(n+1)}*n! \ = \ (n+1)![/mm]
Das fehlende Glied der Abschätzung (...) überlasse ich mal Dir. Bei der roten Markierung habe ich die Induktionsvoraussetzung verwendet.
Gruß
Loddar
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