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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 So 07.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | | [mm] \produkt_{k=1}^{n} [/mm] (1- [mm] \bruch{2}{(k+1)(k+2)}) [/mm] = [mm] \bruch{n+3}{3(n+1)} [/mm] |
Hallo. Hab ein paar Fragen zu den Induktionsschlüssen:
(1) Wenn man n+1 einsetzt, steht da doch:
[mm] \produkt_{k=1}^{n+1} [/mm] (1- [mm] \bruch{2}{(n+2)(n+3)} [/mm] ) = [mm] \bruch{n+4}{3(n+2)}
[/mm]
[mm] \produkt_{k=1}^{n} [/mm] (1- [mm] \bruch{2}{(k+1)(k+2)} [/mm] ) [mm] \* [/mm] (1- [mm] \bruch{2}{(n+2)(n+3)})
[/mm]
Der erste Faktor ist doch nach Vor. [mm] \bruch{n+3}{3(n+1)} [/mm] oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 So 07.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine rechte Seite stimmt, aber links bleiben die k stehen, nur der obere Index wird um 1 erhöht.
so wie du es schreibst, kommt im produkt ja gar kein k mehr vor?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 So 07.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Also so?
[mm] \produkt_{k=1}^{n+1} [/mm] (1- [mm] \bruch{2}{(k+2)(k+3)} [/mm] ) = [mm] \bruch{n+4}{3(n+2)}
[/mm]
[mm] \produkt_{k=1}^{n} [/mm] (1- [mm] \bruch{2}{(k+1)(k+2)} [/mm] ) [mm] \* [/mm] (1- [mm] \bruch{2}{(n+2)(n+3)})
[/mm]
Wenn das stimmt, wie macht man dann weiter? Ist die Ind.Vor. richtig eingesetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 So 07.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
Für den Induktionsschluss musst Du nur das n um 1 erhöhen, also überall da, wo n steht, n+1 einsetzen. Was Du beweisen musst, sieht dann so aus.
[mm] \produkt_{k=1}^{n+1}\left(1-\bruch{2}{(k+1)(k+2)}\right)=\bruch{n+4}{3(n+2)}
[/mm]
Nun das Produkt bis n durch die Induktionsannahme ersetzten und beim letzten Term im Produkt k durch n+1 ersetzten und alles ausrechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 So 07.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Danke. ;) Dann steht da aber folgendes:
[mm] \bruch{n+3}{3(n+1} \* [/mm] (1- [mm] \bruch{2}{(n+2)(n+3)}) [/mm] auf der linken Seite, wenn der erste Faktor durch die Ind.Vor ersetzt wurde. Aber wie soll man da jetzt auf den Term der rechten Seite, also [mm] \bruch{n+4}{3(n+2)} [/mm] kommen? Das ist ja das Ziel.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 So 07.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SolRakt!
Bringe zunächst den Inhalt der großen Klammer auf einen Hauptnenner und fasse zusammen. Anschließend entsprechend kürzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 So 07.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Wenn man den Inhalt der großen Klammer auf einen Nenner bringt, steht da doch:
[mm] \bruch{n+3}{3n+1} \* \bruch{(n+2)(n+3)-2}{(n+2)(n+3)}
[/mm]
Aber hab grad keine Ahnung wie ich weitermachen soll?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 So 07.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> [mm]\bruch{n+3}{3n+1} \* \bruch{(n+2)(n+3)-2}{(n+2)(n+3)}[/mm]
Hier fehlen Klammern im Nenner des ersten Bruches.
Zunächst einmal lässt sich $(n+3)_$ kürzen, so dass verbleibt:
[mm] \bruch{1}{3*(n+1)}*\bruch{(n+2)(n+3)-2}{(n+2)}
[/mm]
Nun im Zähler ausmultiplizieren. Anschließend versuche, aus dem Zähler $(n+1)_$ auszuklammern.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 So 07.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Super. Ja, habs verstanden. ;)
Könnt ihr mir auch hier helfen:
[mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k} \binom{n}{k} [/mm] k = 0
Dann wäre IndSch.
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} (-1)^{k} \binom{n+1}{k} [/mm] k = 0
Wenn man das jetzt aufspaltet, erhält man:
[mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k} \binom{n}{k} [/mm] k + [mm] (-1)^{n+1} \binom{n+1}{n+1} \* [/mm] (n+1)
Stimmt das? Und wie macht man weiter. Der erste Teil ist ja laut IndVor 0.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 So 07.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
So kannst du nicht abspalten!
> [mm]\summe_{k=1}^{n} (-1)^{k} \binom{n}{k}[/mm] k = 0
>
> Dann wäre IndSch.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} (-1)^{k} \binom{n+1}{k}[/mm] k = 0
>
> Wenn man das jetzt aufspaltet, erhält man:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} (-1)^{k} \binom{n}{k}[/mm] k + [mm](-1)^{n+1} \binom{n+1}{n+1} \*[/mm]
> (n+1)
falsch, richtig wäre
[mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k} \binom{n+1}{k}+(-1)^{n+1} \binom{n+1}{n+1} \*
[/mm]
d.h. du musst noch umrechnen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 So 07.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Bei dir müsste bei dem [mm] \* [/mm] noch (n+1) stehn, also ... [mm] \* [/mm] (n+1) oder?
Und wie kann man das umrechnen?
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> Bei dir müsste bei dem [mm]\*[/mm] noch (n+1) stehn, also ... [mm]\*[/mm]
> (n+1) oder?
Hallo,
ja.
Jetzt mußt Du ziestrebeig daraufhinarbeiten, irgendwie die Induktionsannahme verwenden zu können.
Vielleicht fällt Du ein, wie Du den Binomialkoeffizienten in der Summe noch anders schreiben kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:14 Mo 08.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Den kann man nach Regel von Pascal umschreiben in:
[mm] \binom{n}{k} [/mm] + [mm] \binom{n}{k-1} [/mm]
Aber was bringt mir das?
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> Den kann man nach Regel von Pascal umschreiben in:
>
> [mm]\binom{n}{k}[/mm] + [mm]\binom{n}{k-1}[/mm]
>
> Aber was bringt mir das?
Och menno!
Laß Dir doch nicht alles aus der Nase ziehen!
Kannst Du nicht wenigstens mal hinschreiben, was Du dastehen hast, wenn Du das verwendest?
Wenn man Dir zeigen soll, was man damit machen kann, dann braucht's schon ein bißchen Zusammenhang - und Aktivität.
Möglicherweise erkennst Du selbst schon irgendwo die Induktionsvoraussetzung oder etwas , was in die Richtung weist.
Vielleicht auch gibt's bei der Anwendung der Induktionsvoraussetzung ein konkretes Problem. Dann formuliere es.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 Mo 08.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn ich das richteig deute, willst du zeigen, dass
$ [mm] \produkt_{k=1}^{n}\left(1-\bruch{2}{(k+1)(k+2)}\right)=\bruch{n+3}{3(n+1)} [/mm] $
Zuerst mach mal den Ind-Anfang, also zeige, dass:
$ [mm] \produkt_{k=1}^{\red{1}}\left(1-\bruch{2}{(k+1)(k+2)}\right)=\bruch{\red{1}+3}{3(\red{1}+1)} [/mm] $
Dann schreibe die Induktionsvoraussetzung sauber auf, also
$ [mm] \produkt_{k=1}^{n}\left(1-\bruch{2}{(k+1)(k+2)}\right)=\bruch{n+3}{3(n+1)} [/mm] $
Das darfst du als gegeben voraussetzen.
Im Induktionsschritt zeige nun, dass
$ [mm] \produkt_{k=1}^{\red{n+1}}\left(1-\bruch{2}{(k+1)(k+2)}\right)=\bruch{\red{(n+1)}+3}{3(\red{(n+1)}+1)} [/mm] $
Fange dazu wie folgt an:
[mm] \produkt_{k=1}^{\red{n+1}}\left(1-\bruch{2}{(k+1)(k+2)}\right)
[/mm]
[mm] =\left(\produkt_{k=1}^{n}\left(1-\bruch{2}{(k+1)(k+2)}\right)\right)*\produkt_{k=n+1}^{n+1}\left(1-\bruch{2}{(k+1)(k+2)}\right)
[/mm]
[mm] =\green{\left(\produkt_{k=1}^{n}\left(1-\bruch{2}{(k+1)(k+2)}\right)\right)}*\left(1-\bruch{2}{(n+1+1)(n+1+2)}\right)
[/mm]
Für den grünen Teil gilt nun die Ind-Voraussetzung, also:
[mm] \green{\left(\produkt_{k=1}^{n}\left(1-\bruch{2}{(k+1)(k+2)}\right)\right)}*\left(1-\bruch{2}{(n+1+1)(n+1+2)}\right)
[/mm]
[mm] =\green{\bruch{n+3}{3(n+1)}}*\left(1-\bruch{2}{(n+1+1)(n+1+2)}\right)
[/mm]
[mm] =\bruch{n+3}{3(n+1)}*\left(1-\bruch{2}{(n+2)(n+3)}\right)
[/mm]
Bringe das nun durch vernünftige Umformungen auf
[mm] \bruch{\red{(n+1)}+3}{3(\red{(n+1)}+1)}
[/mm]
Das ist das Prinzip des  Induktionsbeweises.
Marius
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