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Heyho!
Ich bin auf einen falschen Induktionsbeweis gestoßen, bei dem ich allerdings nicht den Fehler entdecken kann...
"Jeder Mensch in Deutschland hat den gleichen Vornamen."
Bew.:
Sei M eine Menge von Menschen der Mächtigkeit [mm] n\in \IN. [/mm]
Für n=1 hat jedes [mm] x\in [/mm] M den gleichen Vornamen.
Induktionsschluss [mm] n\to [/mm] n+1
Seien die Elemente von M bezeichnet durch [mm] a_{1},..., a_{n+1}
[/mm]
und sei [mm] M_{1}:=\{a_{1},..., a_{n}\} [/mm] sowie [mm] M_{2}:=\{a_{2},..., a_{n+1}\}.
[/mm]
Nach Induktionsannahme haben alle [mm] x\in M_{1} [/mm] den gleichen Vornamen sowie auch alle [mm] y\in M_{2}. [/mm] Insgesamt haben also alle [mm] x\in [/mm] M den gleichen Vornamen.
Da es nur endlich viele Menschen in Deutschland gibt, haben also alle den gleichen Vornamen.
q. e. d.
Hier wurde eine offensichtlicht falsche Aussage per Induktion bewiesen. Wo liegt also der Fehler?
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Hallo Salamence,
hübsche Aufgabe. Die mathematische Verbrämung sorgt dafür, dass man dem Fehler nicht unmittelbar auf die Schliche kommt.
Leider klappt schon der Schritt von n=1 auf n=2 nicht.
Zur freundlichen Irritation wechselt M im Induktionsschritt die Mächtigkeit von n auf n+1. Welches ist denn das hinzukommende Element? Das ist für die Betrachtung der beiden Teilmengen [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] eine wichtige, zu klärende und hier unterschlagene Fragestellung.
Falls das hinzutretende Element [mm] x_{n+1} [/mm] ist, so ist die Behauptung über [mm] M_2 [/mm] nicht belegt. Falls "vorne" hinzugefügt wird, das neue Element also [mm] x_1 [/mm] ist, so ist die Behauptung über [mm] M_1 [/mm] nicht belegt. Falls es irgendein anderes Element ist, sind beide Behauptungen nicht belegt. Ein Schluss ist daher nicht möglich.
Insbesondere fehlt dem Induktionsschritt das zugrundeliegende Nachfolgeraxiom des Zermelo-Fraenkel-Systems bzw. auch nur der Peano'schen Axiome. Gibt es eine Schlussweise von n auf n+1? Oder von [mm] x_n [/mm] auf [mm] x_{n+1}? [/mm] Oder von |M|=n auf |M|=n+1? Hier wäre mindestens eine Rekursionsvorschrift vonnöten.
Geschickt ist die Indizierung [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2. [/mm] Sie scheint naheliegend, verhindert aber zugleich die Vergabe eines Index für die Mächtigkeit der Menge. So verbietet sich die Indizierung [mm] M_1, M_2, M_3\ \cdots\ M_n [/mm] mit [mm] |M_i|=i. [/mm] Damit wird quasi durch die Erschwerung einer geeigneten Nomenklatur die Suche nach der Falle behindert.
Lege die gleiche Aufgabe jemandem vor, und nenne statt [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] die beiden Mengen [mm] M_{\alpha}(n+1) [/mm] und [mm] M_{\beta}(n+1). [/mm] Ich bin sicher, dass dann viel schneller auffällt, dass [mm] M_{\alpha}(2)=\{x_1\}, M_{\beta}(2)=\{x_2\} [/mm] und wir über eines der beiden Elemente und damit über eine der beiden Mengen absolut nichts wissen.
Grüße
reverend
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