Induktionsproblem < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Do 17.11.2005 | | Autor: | DarkSea |
Hi. Ich habe bei einem Induktionsbeweis Probleme.
Ich soll zeigen:
[mm] (\summe_{j=1}^{n}a_{j}) [/mm] * [mm] (\summe_{j=1}^{n}1/a_{j}) \ge n^{2} [/mm]
Den Induktionsanfang hab ich, nun kommt der Induktionsschritt. Ich guck mir die linke Seite an:
[mm] (\summe_{j=1}^{n}a_{j} [/mm] + [mm] a_{n+1}) [/mm] * [mm] (\summe_{j=1}^{n}1/a_{j} [/mm] + [mm] 1/a_{n+1}) [/mm]
= [mm] (\summe_{j=1}^{n}a_{j}) [/mm] * [mm] (\summe_{j=1}^{n}1/a_{j}) [/mm] + [mm] a_{n+1} [/mm] * [mm] (\summe_{j=1}^{n}1/a_{j}) [/mm] + [mm] 1/a_{n+1} [/mm] * [mm] (\summe_{j=1}^{n}a_{j}) [/mm] + 1
[mm] \ge n^{2} [/mm] + [mm] a_{n+1} [/mm] * [mm] (\summe_{j=1}^{n}1/a_{j}) [/mm] + [mm] 1/a_{n+1} [/mm] * [mm] (\summe_{j=1}^{n}a_{j}) [/mm] + 1
und haben auf der rechten seite will ich ja: [mm] n^{2} [/mm] + 2n + 1 bis auf den mittleren Term sieht das ja schon ähnlich aus, aber da komme ich jetzt nicht weiter... wir sollen wohl irgendwie die allgemeine Formel a/b + b/a [mm] \ge [/mm] 2 benutzen, aber da komm ich irgendwie nicht hin.. kann mir jemand helfen ?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Do 17.11.2005 | | Autor: | saxneat |
Moin DarkSea!
Als erstes zieh doch die Faktoren in die Summe rein.
Dann die Summen zusammenfassen
Führt zu:
[mm] \summe_{j=1}^{n}(\bruch{a_{n+1}}{a_{j}}+\bruch{a_{j}}{a_{n+1}})
[/mm]
nun den Hinweis benutzen:
[mm] \summe_{j=1}^{n}(\bruch{a_{n+1}}{a_{j}}+\bruch{a_{j}}{a_{n+1}})\ge\summe_{j=1}^{n}2=2n
[/mm]
und damit wärst du schon fertig
MfG
saxneat
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Do 17.11.2005 | | Autor: | DarkSea |
ahh bin ich blöd :)
danke schön !
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