Induktionsbeweise < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:39 Mo 04.01.2010 | | Autor: | mausieux |
Ein zweites Hallo für heute.
Wer kann mir bei nachstehender Aufgabe helfen und mir die richtige Lösung zeigen und erklären?
[mm] 3^{2^{n}}-1 [/mm] ist durch [mm] 2^{n+2} [/mm] teilbar n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \bruch{3^{2^{n}}-1}{2^{n+2}} [/mm] = a * [mm] 2^{n+2}
[/mm]
[mm] 3^{2^{n}}-1 [/mm] = [mm] a2^{n+2}
[/mm]
I.A n = 1
9 -1 = 8a ok
I.S n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] 3^{2^{n+1}}-1 [/mm] = [mm] a2^{n+1+2}
[/mm]
meine weitere Lösung stimmt nicht, wie muss ich jetzt weitermachen und stimmt es bis hier hin?
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Hallo mausieux,
Induktionsanfang klappt ja.
Nun Induktionsschritt:
[mm] $3^{(2^{n+1})} [/mm] -1 = [mm] 3^{(2*2^{n})} [/mm] - 1 = [mm] \left(3^{(2^{n})}\right)^{2} [/mm] -1 = ...$
Nun dritte binomische Formel anwenden! Es entsteht ein Produkt, und ein Faktor davon entspricht "zufällig" der Induktionsvoraussetzung. Was folgt dann für das gesamte Produkt ?
Grüße,
Stefan
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