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| Aufgabe | Bestimmen sie die Taylorreihe folgender Funktion im Entwicklungspunkt 0
[mm] ln( \frac {1+x}{1-x} ) [/mm] |
Hallo,
ich brauche Hilfe beim Induktionsschritt zu oben genannter Aufgabenstellung.
Die k-te Ableitung habe ich bereits herausgefunden,
[mm] f^k(x)= \frac {(-1)^(^k^-^1^) * (k-1)! } {(1+x)^k} - \frac {(-1)*(k-1)! } {(1-x)^k} [/mm]
Jedoch komme ich jetzt beim Induktionsschritt nicht weiter.
Es müsste ja eigentlich rauskommen:
[mm] f^k^+^1(x)= \frac {(-1)^k * (k)! } {(1+x)^k^+^1} - \frac {(-1)*(k)! } {(1-x)^k^+^1} [/mm]
Jedoch stellt das bei mir Probleme da, da ich mir die beiden Zähler nicht zusammenbasteln kann.
Mit freundlichen Grüßen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Bestimmen sie die Taylorreihe folgender Funktion im
> Entwicklungspunkt 0
> [mm]ln( \frac {1+x}{1-x} )[/mm]
> Hallo,
>
> ich brauche Hilfe beim Induktionsschritt zu oben genannter
> Aufgabenstellung.
> Die k-te Ableitung habe ich bereits herausgefunden,
> [mm]f^k(x)= \frac {(-1)^(^k^-^1^) * (k-1)! } {(1+x)^k} - \frac {(-1)*(k-1)! } {(1-x)^k}[/mm]
>
Wozu soll denn das Minszeichen zwischen den Brüchen in Verbindung mit der -1 im Zähler des zweiten Bruchs gut sein? Du hast das im Prinzip schon richtig angesetzt, aber
[mm] f^{(k)}(x)=\bruch{(-1)^{k-1}*(k-1)!}{(1+x)^k}+\bruch{(k-1)!}{(1-x)^k}
[/mm]
wäre einfacher.
> Jedoch komme ich jetzt beim Induktionsschritt nicht
> weiter.
> Es müsste ja eigentlich rauskommen:
> [mm]f^k^+^1(x)= \frac {(-1)^k * (k)! } {(1+x)^k^+^1} - \frac {(-1)*(k)! } {(1-x)^k^+^1}[/mm]
>
> Jedoch stellt das bei mir Probleme da, da ich mir die
> beiden Zähler nicht zusammenbasteln kann.
>
Das musst du doch nicht. Leite die beiden Brüche der Induktionsvoraussetzung jeweils getrennt ab, dann müsste das schon passen, wenn du alles richtig machst.
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant und erstmal danke für die Antwort :)
ich hab noch eine Frage bezüglich des Ableitens von k! (und sämtlichen anderen von k abhänigen termen)
Behandel ich das K als zahl oder als variable?
Weil behandel ich es als zahl werden die k-terme 0 beim Ableiten, behandel ich es als variable werden sie ja 1:1 übernommen.
Danke und liebe grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Mo 06.01.2014 | | Autor: | chrisno |
> Behandel ich das K als zahl oder als variable?
Da Du nach x ableitest, ist nur x die Variable.
> Weil behandel ich es als zahl werden die k-terme 0 beim
> Ableiten,
falsch
> behandel ich es als variable werden sie ja 1:1
> übernommen.
auch falsch
schau noch mal die Ableitungsregeln an
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>
> [mm]f^{(k)}(x)=\bruch{(-1)^{k-1}*(k-1)!}{(1+x)^k}+\bruch{(k-1)!}{(1-x)^k}[/mm]
>
> wäre einfacher.
>
> Das musst du doch nicht. Leite die beiden Brüche der
> Induktionsvoraussetzung jeweils getrennt ab, dann müsste
> das schon passen, wenn du alles richtig machst.
>
>
> Gruß, Diophant
Hallo nochmal,
da ich mich durch die Antworten etwas verunsichert fühle frag ich jetzt einfach nochmal nach. Wenn x meine Variable ist, wie leite ich dann diese k-terme ab? Was passiert mit denen beim ableiten?
[mm]\bruch{(k-1)!}{(1-x)^k}[/mm] wäre da ein gutes Beispiel
Vielen lieben Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Di 07.01.2014 | | Autor: | abakus |
> >
> >
> [mm]f^{(k)}(x)=\bruch{(-1)^{k-1}*(k-1)!}{(1+x)^k}+\bruch{(k-1)!}{(1-x)^k}[/mm]
> >
> > wäre einfacher.
> >
>
> > Das musst du doch nicht. Leite die beiden Brüche der
> > Induktionsvoraussetzung jeweils getrennt ab, dann müsste
> > das schon passen, wenn du alles richtig machst.
> >
> >
> > Gruß, Diophant
>
> Hallo nochmal,
> da ich mich durch die Antworten etwas verunsichert fühle
> frag ich jetzt einfach nochmal nach. Wenn x meine Variable
> ist, wie leite ich dann diese k-terme ab? Was passiert mit
> denen beim ableiten?
> [mm]\bruch{(k-1)!}{(1-x)^k}[/mm] wäre da ein gutes Beispiel
>
> Vielen lieben Dank
Hallo,
konstante Summanden werden beim Ableiten zu 0.
Konstante Faktoren bleiben beim Ableiten erhalten.
Ob du nun [mm] $3x^2$ [/mm] oder [mm] $5x^2$ [/mm] oder [mm] $(-1)*x^2$ [/mm] oder [mm] $kx^2$ [/mm] ableitest- die Regel ist die gleiche.
Auch das Ableiten von [mm] $x^3$ [/mm] oder [mm] $x^8$ oder $x^{-4}$ [/mm] unterscheidet sich nicht vom Ableiten von [mm] $x^k$ [/mm] (falls x jeweils die Variable ist, nach der abgeleitet wird).
Im Beispiel [mm]\bruch{(k-1)!}{(1-x)^k}[/mm] ist (k-1)! ein konstanter Faktor vor dem Term [mm]\bruch{1}{(1-x)^k}[/mm], der auch als [mm] $(1-x)^{-k}$ [/mm] geschrieben werden kann.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Mo 06.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
Alternative :
Entwickle die zwei Brüche aus f'(x) in geometrische Reihen und integriere gliedweise.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Di 07.01.2014 | | Autor: | Killercat |
Vielen lieben Dank euch allen, habs hingekriegt :)
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Hi,
auch hier noch eine Möglichkeit:
ln((1+x)/(1-x))=ln(1+x)-ln(1-x)
Die Reihe von ln(1+x) ist meist bekannt und so auch von ln(1-x). Dann bekommt man sehr schnell die gesuchte Reihenentwicklung.
Grüße
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