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| Aufgabe | Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:
(b) Für n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] \alpha \in \IR [/mm] ist | [mm] sin(n\alpha)| \le [/mm] n | [mm] sin(\alpha) [/mm] | .
Hinweis: Man kann [mm] sin(\beta [/mm] + [mm] \gamma) [/mm] = [mm] sin(\beta) cos(\gamma) [/mm] + [mm] cos(\beta) sin(\gamma) [/mm] verwenden. |
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Hallo, tut mir wirklich Leid, dass das so viele Aufgaben sind, aber ich bin erst seit kurzem an der Uni und wirklich überfordert, und meine Prüfungszulassung hängt von diesen Aufgaben ab.
Ich bitte um ausführlich erklärende Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Fr 25.10.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo barischtoteles!
Induktionsanfang und Induktionsvoraussetzung überlasse ich mal Dir.
Im Induktionsschritt ist also zu zeigen: [mm] $\left| \sin[(n+1)*\alpha) \right| [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] (n+1)*\left|\sin(\alpha)\right|$
[/mm]
Es gilt:
[mm] $\left| \sin[(n+1)*\alpha) \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \sin(n*\alpha+\alpha) \right|$
[/mm]
Nun wenden wir den Tipp aus der Aufgabenstellung an:
$= \ [mm] \left| \sin(n*\alpha)*\cos(\alpha)+\cos(n*\alpha)*\sin(\alpha) \right|$
[/mm]
Nun wenden wir die Dreiecksungleichung $|a+b| \ [mm] \le [/mm] \ |a|+|b|$ an:
[mm] $\red{\le} [/mm] \ [mm] \left| \sin(n*\alpha)*\cos(\alpha)\right|+\left| \cos(n*\alpha)*\sin(\alpha) \right|$
[/mm]
Es gilt: $|a*b| \ = \ |a|*|b|$:
$= \ [mm] \red{\left| \sin(n*\alpha)\right|}*\blue{\left|\cos(\alpha)\right|}+\blue{\left| \cos(n*\alpha)\right|}*\left|\sin(\alpha) \right|$
[/mm]
Auf den roten Term wenden wir nun die Induktionsvoraussetzung an.
Die blauen Terme lassen sich aufgrund der Funktionseigenschaften der cos-Funktion mit $... \ [mm] \le [/mm] \ 1$ abschätzen.
Damit wird dann:
[mm] $\red{\le} [/mm] \ [mm] \red{n*\left| \sin(\alpha)\right|}*\blue{1}+\blue{1}*\left|\sin(\alpha) \right|$
[/mm]
Den "Rest" überlasse ich nun wieder Dir.
Gruß
Loddar
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[mm] |sin(\alpha) [/mm] | ausgeklammert ergibt das dann (n+1) * [mm] |sin(\alpha) [/mm] | und somit ist die behauptung bewiesen
vielen vielen dank ihr seid eine riesen hilfe!!
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