Induktionsbeweis für Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Mo 07.05.2007 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | Vor.:
[mm] a,b,\varphi\in [/mm] IR, a < b, 0 < [mm] \varphi [/mm] < 1, [mm] x_1:=a, x_2:=b, x_{n+2}:=\varphi*x_{n+1}+(1-\varphi)*x_n [/mm] für [mm] n\in\IN [/mm] ohne {0}
Beh.:
[mm] x_{n+1}=a+(b-a)*(\summe_{k=0}^{n-1} (\varphi-1)^k) [/mm] für [mm] n\in\IN [/mm] ohne{0}
Beweisen Sie durch vollständige Induktion!
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Hallo.
Bräuchte eure Hilfe. Hab den Induktionsanfang soweit gemacht, hat auch geklappt(kommt auf beiden Seiten b raus), aber der Induktionsschritt...bei dem komm ich nicht weiter...zu zeigen wäre ja dann:
[mm] x_{n+2}=a+(b-a)*(\summe_{k=0}^{n} (\varphi-1)^k)
[/mm]
...aber wie mach ich weiter?
Vielen Dank schon mal im Voraus!
Grüße, Marina
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Vor.:
> [mm]a,b,\varphi\in[/mm] IR, a < b, 0 < [mm]\varphi[/mm] < 1, [mm]x_1:=a, x_2:=b, x_{n+2}:=\varphi*x_{n+1}+(1-\varphi)*x_n[/mm]
> für [mm]n\in\IN[/mm] ohne {0}
> Beh.:
> [mm]x_{n+1}=a+(b-a)*(\summe_{k=0}^{n-1} (\varphi-1)^k)[/mm] für
> [mm]n\in\IN[/mm] ohne{0}
> Beweisen Sie durch vollständige Induktion!
>
>
>
>
> Hallo.
>
> Bräuchte eure Hilfe. Hab den Induktionsanfang soweit
> gemacht, hat auch geklappt(kommt auf beiden Seiten b raus),
> aber der Induktionsschritt...bei dem komm ich nicht
> weiter...zu zeigen wäre ja dann:
> [mm]x_{n+2}=a+(b-a)*(\summe_{k=0}^{n} (\varphi-1)^k)[/mm]
> ...aber
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast richtig erkannt, was zu zeigen ist - unter der Voraussetzung, daß [mm] x_{n+1}=a+(b-a)*(\summe_{k=0}^{n-1} (\varphi-1)^k)[/mm] [/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] ohne{0} gilt.
Mein Tip ist ins Blaue hinein, ich habe nicht weitergerechnet, dafür bin ich heute abend zu matt.
Ich würde es so angehen:
[mm] x_{n+2}=x_{n+2}:=\varphi*x_{n+1}+(1-\varphi)*x_n [/mm] (nach Definition der Rekursion)
=...
und nun würde ich für [mm] x_n+1 [/mm] und [mm] x_n [/mm] die Induktionsvoraussetzung [mm] einsetzen,x_{n+1}=a+(b-a)*(\summe_{k=0}^{n-1} (\varphi-1)^k) [/mm] und [mm] x_{n}=a+(b-a)*(\summe_{k=0}^{n-2} (\varphi-1)^k).
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Mo 07.05.2007 | | Autor: | lubalu |
Ja,ok,danke erstmal!
Wenn ich dann die Definitionen für [mm] x_n [/mm] und [mm] x_{n+1} [/mm] einsetze komm ich auf folgenden Term:
[mm] x_{n+2}= \varphi*[a+(b-a)*(\summe_{k=0}^{n-1} (\varphi-1)^k)]+(1-\varphi)*[a+(b-a)*(\summe_{k=0}^{n-2} (\varphi-1)^k]
[/mm]
Aber wie mach ich hier dann weiter, dass ich vielleicht irgendwann mal auf [mm] \summe_{k=0}^{n} (\varphi-1)^k [/mm] komme? Steh glaub ich a bissl auf da Leitung im Moment!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Mo 07.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ausser hinschreiben hast du ja noch gar nix gemacht.
erstmal (a-b) lassen aber die anderen Klammern ausrechnen, die Summen zusammenfassen, einiges hebt sich weg.
Solange du gar nix rumrechnest kannst du sicher nix ausrechnen, und wir muessen das ja auch machen und schreiben. also weiter ausrechnen, dann kommts schon hin!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 Di 08.05.2007 | | Autor: | lubalu |
So,ich hab jetzt rumgerechnet und bei mir kommt dann zum Schluss leider raus: [mm] x_{n+2}=a+(b-a)*(\summe_{k=0}^{n-1} (\varphi-1)^k) [/mm] also bei der Summe statt n, was rauskommen sollte bleibt bei mir n-1. Ich schreib jetzt mal,wie ich gerechnet hab:
[mm] x_{n+2}=...(Ausmultiplizieren [/mm] der ersten Klammer mit [mm] \varphi [/mm] und der zweiten Klammer mit [mm] (1-\varphi)...
[/mm]
[mm] =\varphi*a+\varphi*(b-a)*\summe_{k=0}^{n-1} (\varphi-1)^k)+a-\varphi*a+(1-\varphi)*(b-a)* \summe_{k=0}^{n-2} (\varphi-1)^k)=\varphi*(b-a)*\summe_{k=0}^{n-1} (\varphi-1)^k+a+(1-\varphi)*(b-a)* \summe_{k=0}^{n-2} (1-\varphi)^k
[/mm]
[mm] =(b-a)*[\varphi* \summe_{k=0}^{n-1} (\varphi-1)^k)+ \summe_{k=0}^{n-2} (\varphi-1)^k)-\varphi* \summe_{k=0}^{n-2} (\varphi-1)^k)]+a
[/mm]
[mm] =a+(b-a)*(\summe_{k=0}^{n-2} (\varphi-1)^k+(\varphi-1)^{n-1})
[/mm]
[mm] =a+(b-a)*\summe_{k=0}^{n-1} (\varphi-1)^k
[/mm]
Kann mir evtl. jemand sagen, wo ich den Fehler gemacht habe?! Ansonsten geb ichs auf!
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Hallo lubalu,
du hast ein [mm] $\varphi$ [/mm] unterschlagen, und zwar genau hier (da, wo's rot ist  )
> So,ich hab jetzt rumgerechnet und bei mir kommt dann zum
> Schluss leider raus: [mm]x_{n+2}=a+(b-a)*(\summe_{k=0}^{n-1} (\varphi-1)^k)[/mm]
> also bei der Summe statt n, was rauskommen sollte bleibt
> bei mir n-1. Ich schreib jetzt mal,wie ich gerechnet hab:
>
> [mm]x_{n+2}=...(Ausmultiplizieren[/mm] der ersten Klammer mit
> [mm]\varphi[/mm] und der zweiten Klammer mit [mm](1-\varphi)...[/mm]
> [mm]=\varphi*a+\varphi*(b-a)*\summe_{k=0}^{n-1} (\varphi-1)^k)+a-\varphi*a+(1-\varphi)*(b-a)* \summe_{k=0}^{n-2} (\varphi-1)^k)=\varphi*(b-a)*\summe_{k=0}^{n-1} (\varphi-1)^k+a+(1-\varphi)*(b-a)* \summe_{k=0}^{n-2} (1-\varphi)^k[/mm]
>
> [mm]=(b-a)*[\varphi* \summe_{k=0}^{n-1} (\varphi-1)^k)+ \summe_{k=0}^{n-2} (\varphi-1)^k)-\varphi* \summe_{k=0}^{n-2} (\varphi-1)^k)]+a[/mm]
>
> [mm]=a+(b-a)*(\summe_{k=0}^{n-2} (\varphi-1)^k+\red{\varphi\cdot{}}(\varphi-1)^{n-1})[/mm]
Hier hast du den letzten Summanden aus der ersten Reihe gezogen und vergessen, ihn mit [mm] \varphi [/mm] zu multiplizieren, das ja noch vor der Reihe steht
>
> [mm]=a+(b-a)*\summe_{k=0}^{n-1} (\varphi-1)^k[/mm]
>
> Kann mir evtl. jemand sagen, wo ich den Fehler gemacht
> habe?! Ansonsten geb ichs auf!
>
>
den Ausdruck [mm] $\varphi(\varphi-1)^{n-1}$ [/mm] kannst du schreiben als
[mm] $(\varphi-1+1)(\varphi-1)^{n-1}=(\varphi-1)(\varphi-1)^{n-1}+(\varphi-1)^{n-1}=(\varphi-1)^n+(\varphi-1)^{n-1}$
[/mm]
Wenn du die beiden dann wieder in die Summe ziehst, kommst du genau auf das gewünschte Ergebnis
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:54 Di 08.05.2007 | | Autor: | lubalu |
Hallo.
Vielen Dank, jetzt hab ichs hinbekommen...ich vergess gern mal so Kleinigkeiten, die mir dann die ganze Rechnung versauen!
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