Induktionsbeweis Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für reelle Zahlen [mm] x_{i},...,x_{n}, [/mm] die größer als -1 sind und alle gleiches Vorzeichen haben, zeige man
[mm] \produkt_{i=1}^{n}(1+x_{i}) \ge [/mm] 1 + [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i} [/mm] |
Hallo,
mit obiger Aufgabe habe ich so meine Probleme. Also der Induktionsanfang ist ja noch recht einleuchtend, wenn man n=1 setzt. Dann gibts ja nur ein x und dann ist das erfüllt. Aber mit dem Abschätzen von diesen Ungleichungen komme ich nicht klar.
Wenn jemand mir helfen würde, den Ansatz oder bei Weiterführendem zu helfen, wäre ich sehr dankbar.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Do 13.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Den Ind. -Anfang hast Du schon gemacht.
I.V. es sei n [mm] \in \IN [/mm] und
$ [mm] \produkt_{i=1}^{n}(1+x_{i}) \ge [/mm] $ 1 + $ [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i} [/mm] $
n --> n+1:
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}(1+x_{i}) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n}(1+x_{i}) (1+x_{i+1}) \ge (1+\summe_{i=1}^{n}x_i)(1+x_{i}) [/mm] = 1 + [mm] \summe_{i=1}^{n}x_i [/mm] + [mm] x_{n+1} [/mm] + A =1+ [mm] \summe_{i=1}^{n+1}x_i [/mm] +A,
wobei A = [mm] (\summe_{i=1}^{n}x_i)x_{n+1}
[/mm]
Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass A [mm] \ge [/mm] 0 ist, sind wir fertig.
Jetzt bist Du dran, zu zeigen, dass A [mm] \ge [/mm] 0.
Verwende dabei die Vor., dass alle [mm] x_i [/mm] gleiches Vorzeichen haben.
FRED
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Erstmal danke für die Erklärung!
Jetzt ist mir ja klar das A [mm] \ge [/mm] 0 sein muss und zwar weil...
Wenn die [mm] x_{i} [/mm] in der Summe negativ sind, wird ja am Ende mit einer ebenfalls negative [mm] x_{n+1} [/mm] multipliziert, was dann ja wieder eine positive Zahl ergibt. Und bei positiven [mm] x_{i} [/mm] ist es ja sowieso positiv.
Aber wie formulier ich das akademisch korrekt? Ich kann das ja vermutlich nicht einfach so schreiben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Do 13.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Erstmal danke für die Erklärung!
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> Jetzt ist mir ja klar das A [mm]\ge[/mm] 0 sein muss und zwar
> weil...
> Wenn die [mm]x_{i}[/mm] in der Summe negativ sind, wird ja am Ende
> mit einer ebenfalls negative [mm]x_{n+1}[/mm] multipliziert, was
> dann ja wieder eine positive Zahl ergibt. Und bei positiven
> [mm]x_{i}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist es ja sowieso positiv.
> Aber wie formulier ich das akademisch korrekt? Ich kann das
> ja vermutlich nicht einfach so schreiben.
doch, ich würde das akzeptieren. Formal kannst Du es aber so machen:
1. Fall: $x_1,...,x_n,x_{n+1}$ seien alle $\le 0$.
Dann gilt A = $ \left(\summe_{i=1}^{n}x_i\right)*x_{n+1} \ge 0\,,$ denn:
Aus $x_1,...,x_n \le 0$ folgt auch $\summe_{i=1}^{n}x_i \le 0$ und damit $\underbrace{\left(\summe_{i=1}^{n}x_i\right)}_{\le 0}\underbrace{x_{n+1}}_{\le 0}\right) \ge 0\,.$
(Notfalls verweise auf eine Rechenregel im angeordneten Körper bzw. in (dem angeordneten Körper) $\IR$: $r,s \le 0 \Rightarrow r*s \ge 0\,.$)
2. Fall: $x_1,...,x_n,x_{n+1}$ seien alle $\ge 0$...
Gruß,
Marcel
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