Induktionsbeweis Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Fr 03.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
| Aufgabe | Beweisen durch Induktion:
2!*4!*.... *(2n)! [mm] \ge ((n+1)!)^n [/mm]
Für [mm] n\ge [/mm] 1 |
Hallo zusammen
Kann mir jemand einen Tipp geben?
Ich hange irgendwo:
Induktionsanfang für n=1:
(2*1)! = 2 = ((1+1)!^1 = 2 --> wahr
Induktionsschritt:
Voraussetzung: 2!*4!*.... *(2n)! [mm] \ge ((n+1)!)^n [/mm]
Behauptung: 2!*4!*.... *(2n)!*(2(n+1))! [mm] \ge ((n+2)!)^{n+1}
[/mm]
Beweis:
[mm] ((n+2)!)^n+1 [/mm] = [mm] ((n+2)!)^n [/mm] * [mm] ((n+2)!)^1 [/mm] = [mm] ((n+2)!)^n [/mm] * ((n+1)*(n+2)!)
Und jetzt klemmt es irgendwo....:-(
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Fr 03.10.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
also, gehen wir einmal zum Induktionsschritt:
[mm] n\to{n+1}:
[/mm]
Es ist demnach zu zeigen, dass
[mm] 2!*4!*....*(2n)!\ge((n+1)!)^n [/mm] für [mm] n\to{n+1}.
[/mm]
[mm] 2!*4!*....\cdot{}(2(n+1))!=2!*4!*....\cdot{}(2n+2)!=\red{2!*4!*....\cdot{}(2n)!}*(2n+1)*(2n+2)\underbrace{\ge}_{Induktionsvoraussetzung}\red{((n+1)!)^n}*(2n+1)*(2n+2)
[/mm]
Jetzt kannst du sagen, dass für [mm] n\to{n+1} [/mm] gilt:
[mm] \red{2!*4!*....\cdot{}(2n)!}*(2n+1)*(2n+2)\ge\red{((n+1)!)^n}*(2n+1)*(2n+2)
[/mm]
Nach Induktionsvoraussetzung gilt:
[mm] \red{2!*4!*....\cdot{}(2n)!}\ge\red{((n+1)!)^n}
[/mm]
Demnach gilt, wenn du von beiden Seiten mit [mm] (2n+1)\cdot{}(2n+2) [/mm] multiplizierst:
[mm] 2!*4!*....\cdot{}(2n)!*(2n+1)*(2n+2)\ge((n+1)!)^n*(2n+1)*(2n+2)
[/mm]
Du könntest natürlich versuchen, ob es möglich ist,
[mm] ((n+1)!)^n*(2n+1)*(2n+2) [/mm] auf die Form [mm] (((n+1)+1)!)^{n+1}=((n+2)!)^{n+1} [/mm] zu bringen. Mir ist es nicht gelungen.
MfG barsch
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Hallo Nadine,
meine Idee zum Induktionsschritt:
[mm] $\prod\limits_{k=1}^{n+1}(2k)!=\left(\prod\limits_{k=1}^n(2k)!\right)\cdot{}(2(n+1))! [/mm] \ [mm] \overset{\text{nach IV}}{\ge} [/mm] \ [mm] \left[(n+1)!\right]^n [/mm] \ [mm] \cdot{}(2n+2)!$
[/mm]
[mm] $=\left[(n+1)!\right]^n [/mm] \ [mm] \cdot{}\blue{(2n+2)\cdot{}(2n+1)\cdot{}(2n)\cdot{} ... \cdot{}(n+2)}\cdot{}(n+1)!$
[/mm]
[mm] $=\left[(n+1)!\right]^{n+1}\cdot{}\blue{(2n+2)\cdot{}(2n+1)\cdot{}(2n)\cdot{} ... \cdot{}(n+2)}$
[/mm]
[mm] $\ge \left[(n+1)!\right]^{n+1}\cdot{}\blue{(n+2)\cdot{}(n+2)\cdot{}(n+2)\cdot{} ... \cdot{}(n+2)}$
[/mm]
denn $n+2$ ist der kleinste Faktor in dem blauen Produkt
Jetzt überlege, wieviele Faktoren da in blau stehen ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 So 05.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
leider steige ich nicht ganz....
verstehe nicht wieso du auf (n+2) kommst und fragst wieviele faktoren es sind....
gruss,
nadine
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Hallo nochmal,
> leider steige ich nicht ganz....
>
> verstehe nicht wieso du auf (n+2) kommst und fragst
> wieviele faktoren es sind....
Ich habe oben die $(2n+2)!$ "zerlegt"
Das ist ja ein Produkt, das von $1$ bis $(2n+2)$ läuft, also
[mm] $(2n+2)!=\blue{1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}...\cdot{}n\cdot{}(n+1)}\cdot{}(n+2)\cdot{}(n+3)\cdot{}...\cdot{}(2n)\cdot{}(2n+1)\cdot{}(2n+2)$
[/mm]
Der erste Teil in blau ist aber genau $(n+1)!$, man kann also auch schreiben
[mm] $(2n+2)!=(2n+2)\cdot{}(2n+1)\cdot{}(2n)\cdot{}...\cdot{}(n+3)\cdot{}(n+2)\cdot{}\blue{(n+1)!}$
[/mm]
Warum mache ich das? Weil ich ganz vorne auf [mm] $\left[(n+1)!\right]^{\red{n+1}}$ [/mm] kommen muss, ich muss das [mm] $\left[(n+1)!\right]^n$ [/mm] also mit $(n+1)!$ multiplizieren, um den Exponenten um 1 zu erhöhen, das gelingt so.
Also ist [mm] $\left[(n+1)!\right]^n\cdot{}(2n+2)!=\left[(n+1)!\right]^{n+1}\cdot{}(2n+2)\cdot{}(2n+1)\cdot{}(2n)\cdot{}(2n-1)\cdot{}...\cdot{}(n+3)\cdot{}(n+2)$
[/mm]
Soweit klar?
In dem Produkt [mm] $(2n+2)\cdot{}(2n+1)\cdot{}(2n)\cdot{}(2n-1)\cdot{}...\cdot{}(n+3)\cdot{}(n+2)$ [/mm] sind nun wieviele Faktoren?
Von $(n+2)$ bis $(2n+2)$?
Der kleinste der Faktoren ist $(n+2)$, die anderen sind alle größer, ich kann das also nach unten abschätzen, indem ich jeden Faktor durch den kleinsten, also $(n+2)$ ersetze:
[mm] $(2n+2)\cdot{}(2n+1)\cdot{}(2n)\cdot{}(2n-1)\cdot{}...\cdot{}(n+3)\cdot{}(n+2)\ge \underbrace{(n+2)\cdot{}(n+2)\cdot{}(n+2)\cdot{}...\cdot{}(n+2)\cdot{}(n+2)}_{\text{wieviel mal?}}$
[/mm]
Also insgesamt [mm] $\left[(n+1)!\right]^{n+1}\cdot{}(2n+2)(2n+1)(2n)(2n-1)....(n+3)(n+2)\ge\left[(n+1)!\right]^{n+1}\cdot{}(n+2)\cdot{}(n+2)\cdot{}(n+2)\cdot{}...\cdot{}(n+2)\cdot{}(n+2)=\left[(n+1)!\right]^{n+1}\cdot{}(n+2)^{\text{wieviel mal?}}$
[/mm]
>
> gruss,
> nadine
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 So 05.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
> Hallo nochmal,
>
> > leider steige ich nicht ganz....
> >
> > verstehe nicht wieso du auf (n+2) kommst und fragst
> > wieviele faktoren es sind....
>
> Ich habe oben die [mm](2n+2)![/mm] "zerlegt"
>
> Das ist ja ein Produkt, das von [mm]1[/mm] bis [mm](2n+2)[/mm] läuft, also
>
> [mm](2n+2)=\blue{1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}...\cdot{}n\cdot{}(n+1)}\cdot{}(n+2)\cdot{}(n+3)\cdot{}...\cdot{}(2n)\cdot{}(2n+1)\cdot{}(2n+2)[/mm]
>
> Der erste Teil in blau ist aber genau [mm](n+1)![/mm], man kann also
> auch schreiben
>
> [mm](2n+2)!=(2n+2)\cdot{}(2n+1)\cdot{}(2n)\cdot{}...\cdot{}(n+3)\cdot{}(n+2)\cdot{}\blue{(n+1)!}[/mm]
>
> Warum mache ich das? Weil ich ganz vorne auf
> [mm]\left[(n+1)!\right]^{\red{n+1}}[/mm] kommen muss, ich muss das
> [mm]\left[(n+1)!\right]^n[/mm] also mit [mm](n+1)![/mm] multiplizieren, um
> den Exponenten um 1 zu erhöhen, das gelingt so.
>
> Also ist
> [mm]\left[(n+1)!\right]^n\cdot{}(2n+2)!=\left[(n+1)!\right]^{n+1}\cdot{}(2n+2)\cdot{}(2n+1)\cdot{}(2n)\cdot{}(2n-1)\cdot{}...\cdot{}(n+3)\cdot{}(n+2)[/mm]
>
> Soweit klar? ja soweit ist es klar
>
> In dem Produkt
> [mm](2n+2)\cdot{}(2n+1)\cdot{}(2n)\cdot{}(2n-1)\cdot{}...\cdot{}(n+3)\cdot{}(n+2)[/mm]
> sind nun wieviele Faktoren?
>
> Von [mm](n+2)[/mm] bis [mm](2n+2)[/mm]? tja das ist jetzt eben die Frage  wo ich nicht weiterkomme.... ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
>
> Der kleinste der Faktoren ist [mm](n+2)[/mm], die anderen sind alle
> größer, ich kann das also nach unten abschätzen, indem ich
> jeden Faktor durch den kleinsten, also [mm](n+2)[/mm] ersetze:
>
> [mm](2n+2)\cdot{}(2n+1)\cdot{}(2n)\cdot{}(2n-1)\cdot{}...\cdot{}(n+3)\cdot{}(n+2)\ge \underbrace{(n+2)\cdot{}(n+2)\cdot{}(n+2)\cdot{}...\cdot{}(n+2)\cdot{}(n+2)}_{\text{wieviel mal?}}[/mm]
>
> Also insgesamt
> [mm]\left[(n+1)!\right]^{n+1}\cdot{}(2n+2)(2n+1)(2n)(2n-1)....(n+3)(n+2)\ge \left[(n+1)!\right]^{n+1}\cdot{}(n+2)\cdot{}(n+2)\cdot{}(n+2)\cdot{}...\cdot{}(n+2)\cdot{}(n+2)=\left[(n+1)!\right]^{n+1}\cdot{}(n+2)^{\text{wieviel mal?}}[/mm]
>
und wieso hier eine ungleichung und nicht gleichung? schlussendlich müsste man mit (n+2)! auf [mm] \left[(n+2)!\right]^{n+1}\cdot{} [/mm]
>
sorry ich weiss ich bin ein schwieriger fall....![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> >
> > gruss,
> > nadine
>
>
> LG
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
> > In dem Produkt
> >
> [mm](2n+2)\cdot{}(2n+1)\cdot{}(2n)\cdot{}(2n-1)\cdot{}...\cdot{}(n+3)\cdot{}(n+2)[/mm]
> > sind nun wieviele Faktoren?
> >
> > Von [mm](n+2)[/mm] bis [mm](2n+2)[/mm]? tja das ist jetzt eben die Frage
> wo ich nicht weiterkomme....
Das ist doch reines Abzählen  Setze zB. n=7, dann hast du das Produkt von [mm] $(7+2)\cdot{}(7+3)\cdot{}...\cdot{}(2\cdot{}7+2)$, [/mm] also von [mm] $9\cdot{}10\cdot{}...\cdot{}16$, [/mm] das sind 8=7+1 Faktoren.
Allg. geht das Produkt von (n+2) bis (2n+2), das sind [mm] $\left[2n+2-(n+2)\right]+1=n+1$ [/mm] Faktoren, oder?
> >
> > Der kleinste der Faktoren ist [mm](n+2)[/mm], die anderen sind alle
> > größer, ich kann das also nach unten abschätzen, indem ich
> > jeden Faktor durch den kleinsten, also [mm](n+2)[/mm] ersetze:
> >
> >
> [mm](2n+2)\cdot{}(2n+1)\cdot{}(2n)\cdot{}(2n-1)\cdot{}...\cdot{}(n+3)\cdot{}(n+2)\ge \underbrace{(n+2)\cdot{}(n+2)\cdot{}(n+2)\cdot{}...\cdot{}(n+2)\cdot{}(n+2)}_{\text{wieviel mal?}}[/mm]
>
> >
> > Also insgesamt
> >
> [mm]\left[(n+1)!\right]^{n+1}\cdot{}(2n+2)(2n+1)(2n)(2n-1)....(n+3)(n+2)\ge \left[(n+1)!\right]^{n+1}\cdot{}(n+2)\cdot{}(n+2)\cdot{}(n+2)\cdot{}...\cdot{}(n+2)\cdot{}(n+2)=\left[(n+1)!\right]^{n+1}\cdot{}(n+2)^{\text{wieviel mal?}}[/mm]
>
> >
> und wieso hier eine ungleichung und nicht gleichung?
> schlussendlich müsste man mit (n+2)! auf
> [red][mm]\left[(n+2)!\right]^{n+1}\cdot{}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Du willst doch zeigen, dass gilt $\prod\limits_{k=1}^{n+1}(2k)!\ge\left[(n+2)!]^{n+1}$
Also nehmen wir und die linke Seite her wie oben und schätzen mit einer Gleichungs- und Ungleichungskette ab:
Wir waren nun bei $\prod\limits_{k=1}^{n+1}(2k)!\ge\left[(n+1)!]^{n+1}\cdot{}(n+2)^{n+1}$
Denn wir haben $(n+1)$-mal den Faktor $(n+2)$
$=\left[(n+1)!\cdot{}(n+2)\right]^{n+1}=\left[(n+2)!\right]^{n+1}$
Also genau die rechte Seite, zu der wir hin wollten ...
> >
> sorry ich weiss ich bin ein schwieriger fall....
> > >
> > > gruss,
> > > nadine
LG
schachuzipus
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