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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:01 Sa 07.04.2007 | | Autor: | IrisL. |
| Aufgabe | Es seien V ein [mm] \IK-Vektorraum, [/mm] f,g [mm] \in [/mm] End(V) mit [mm] f^{2}=f [/mm] und f [mm] \circ [/mm] g=g [mm] \circ [/mm] f. Ferner gebe es ein [mm] \lambda \in \IK [/mm] mit
Kern(g- [mm] \lambda *id_{V}) \subseteq [/mm] Kern (f).
Zeigen Sie, dass dann für jedes j [mm] \in \IN [/mm] gilt
Kern(g - [mm] \lambda id_{V} )^{j} \subseteq [/mm] Kern(f). |
Huhu!
Also ich versuche das über einen Induktionsbeweis hinzubekommen. Der Anfang ist ja simpel, da das ganze für j=1 schon vorausgesetzt ist.
Wenn ich das jetzt potenziere, muß ich nur den Ausdruck in der Klammer betrachten oder auch den Kern?
Würde das für ^{2} so aussehen:
Kern((g - [mm] \lambda id_{V})(g-\lambda id_{V})) \subseteq Kern(f^{2})?
[/mm]
Letzteres ist ja aufgrund der Voraussetzung wieder Kern(f). Und das erste?
Gruß
Iris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Sa 07.04.2007 | | Autor: | Thomas85 |
Hallo
Ich sitze über derselben Aufgabe.
Ich kann keine Antwort geben sondern auch nur mitraten.
Ich denke Mit der Induktionsvorraussetzung:
[mm] Kern((g-\lambda*id_{V})^j) \subseteq [/mm] Kern(f)
kommt man doch jetzt mit
Kern( [mm] (g-\lambda*id_V)^j(g-\lambda*id_V) )\subseteq [/mm] Kern(f)
und damit zu
[mm] Kern((g-\lambda*id_{V})^{j+1}) \subseteq [/mm] Kern(f)
womit die Induktion schon abgeschlossen ist??
Ich hab noch rausgefunden dass folgendes gilt:
[mm] Kern(g-\lambda*id_V) [/mm] = {v [mm] \in [/mm] V | [mm] (g-\lambda*id_V)(v) [/mm] = 0} <=>
g(v) = [mm] \lambda*v. [/mm]
was ja bedeutet dass der Kern die Menge aller v [mm] \in [/mm] V ist mit v ist Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] zur Abbildung g.
Ich weiß aber nicht wie ich das jetzt anweden kann.
Mfg Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 Sa 07.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
Der Induktionsanfang ist nach Voraussetzung schon gegeben.
Die Induktionsannahme ist
[mm] Kern(g-\lambda*id_V)^n\subseteq [/mm] Kern(f), zu zeigen ist also [mm] Kern(g-\lambda*id_V)^{n+1}\subseteq [/mm] Kern(f).
Sei [mm] x\in Kern(g-\lambda*id_V)^{n+1} \Rightarrow (g-\lambda*id_V)^n(g-\lambda*id_V)x=0, [/mm] d.h.
[mm] (g-\lambda*id_V)x\in Kern(g-\lambda*id_V)^n\subseteq [/mm] Kern(f) nach Induktionsvoraussetzung, also
[mm] f(g-\lambda*id_V)x=0 \Rightarrow f\circ{g(x)}-\lambda{f(x)}=0 \Rightarrow (g-\lambda*{id_V})f(x)=0, [/mm] wegen [mm] f\circ{g}=g\circ{f}, [/mm] also
[mm] f(x)\in Kern(g-\lambda*id_V)\subseteq [/mm] Kern(f), [mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] f\circ{f(x)}=0 [/mm] also [mm] f^2(x)=0, [/mm] wegen [mm] f^2=f [/mm] folgt, f(x)=0 und deshalb [mm] x\in [/mm] Kern(f) q.e.d.
mfg ullim
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