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| Aufgabe | | Zeigen Sie: Ist n [mm] \in \IN [/mm] und n [mm] \ge [/mm] 2 und x,y [mm] \in \IR [/mm] mit x+y > 0 und x [mm] \not= [/mm] y, so gilt: [mm] 2^{n-1}*(x^n+y^n) [/mm] > [mm] (x+y)^n [/mm] |
Hallo,
ich soll obiges beweisen. Ich vermute, dass es am Besten durch vollständige Induktion funktioniert.
Bekannt ist: [mm] 2^{n}= \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i},
[/mm]
sowie die Dreiecksungleichung, die Bernoulliungleichung und der Binomische Satz. Außerdem:
[mm] \vektor{n+1 \\ i} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ i}+\vektor{n \\ i-1}
[/mm]
Mein Ansatz:
Induktionsanfang: n=2: [mm] 2*(x^{2}+y^{2}) [/mm] > [mm] x^{2}+2xy+y^{2}
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}+y^{2}>2xy [/mm]
Induktionsvoraussetzung:
Es gelte: [mm] 2^{n-1}*(x^{n}+y^{n}) [/mm] > [mm] (x+y)^{n}
[/mm]
Induktionsschritt: (ab hier komme ich, egal was ich mache, nicht weiter)
[mm] 2^{n}* (x^{n+1}+ y^{n+1}) [/mm] > [mm] (x+y)^{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw 2^{n}* (x^{n+1} +y^{n+1}) [/mm] > [mm] \summe_{i=0}^{n} 2^{n} *x^{n-i} [/mm] * [mm] y^{i}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] jetzt komme ich nicht weiter (Ich habe auch diverse andere Umformungen probiert, aber da bin ich auch nicht weitergekommen)
Habe ich mich in etwas falsches verrannt? Oder stimmt das so weit (aber wie gehts es dann weiter)?
Danke für jede Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 07.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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