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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 So 16.06.2013 | | Autor: | amarus |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Aussage induktiv:
[mm] 2^n [/mm] > [mm] n^2 [/mm] für [mm] n\ge5 [/mm] |
Also den Induktionsanfang bekomm ich ohne weiteres hin, ich habe auch die Lösung zu dieser Aufgabe aber verstehe sie nicht ganz :-/
Im Induktionsschluss gilt es zu zeigen, dass:
[mm] 2^n+1>n+1^2 [/mm] (das versteh ich) jetzt wurde nächsten schritt aber folgendes gesetzt:
[mm] 2^n+1 [/mm] > [mm] n+1^2 [/mm] -> [mm] 2^n+1 [/mm] = [mm] 2*2^n [/mm] (auch noch klar, aber jetzt aber nicht mehr) > [mm] n^2+n*n \ge n^2+3*n [/mm] = [mm] n^2+2n+n \ge (n^2+2n+1) [/mm] = [mm] (n+1)^2
[/mm]
insbesondere die letzte Reihe verstehe ich nicht mehr... :-/ wäre nett wenn mir das einer erläutern könnte
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Hallo,
man kann das nicht wirklich lesen. Soll das so aussehen:
[mm] 2^{n+1}>(n+1)^2 [/mm] ?
[mm] 2^{n+1}=2*2^n>2n^2=n^2+n*n>n^2+3n=n^2+2n+n>n^2+2n+1=(n+1)^2
[/mm]
?
Falls ja:
- Die erste Ungleichheit ist die Induktionsvoraussetzung [mm] 2^n>n^2
[/mm]
- Die zweite Ungleichheit nutzt n>3 (per Voraussetzung ist [mm] n\ge{5})
[/mm]
- Die dritte Ungleichheit nutzt n>1
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Mo 17.06.2013 | | Autor: | amarus |
Sorry ich schreibe es mal etwas sorgfältiger auf...das ist jetzt die lösung des profs:
Induktionsanfang ist klar
Induktionsschritt n=n+1
[mm] 2^n [/mm] *2 [mm] \ge n^2 [/mm] + 2n +1 // das ist mir auch klar, nur den nächsten schritt verstehe ich einfach nicht :-/
[mm] 2^n [/mm] *2 > [mm] n^2 [/mm] + [mm] n^2 [/mm] ... woher kommt denn jetzt dieses [mm] n^2 [/mm] + [mm] n^2 [/mm] ?
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Hallo amarus,
> Sorry ich schreibe es mal etwas sorgfältiger auf...das ist
> jetzt die lösung des profs:
>
> Induktionsanfang ist klar
>
> Induktionsschritt n=n+1
?? Doch eher [mm]n\to n+1[/mm]
>
> [mm]2^n[/mm] *2 [mm]\ge n^2[/mm] + 2n +1 // das ist mir auch klar, nur den
> nächsten schritt verstehe ich einfach nicht :-/
Nun, das ist ja zu zeigen ...
>
> [mm]2^n[/mm] *2 > [mm]n^2[/mm] + [mm]n^2[/mm] ... woher kommt denn jetzt dieses [mm]n^2[/mm]
> + [mm]n^2[/mm] ?
Nun, zunächst ist nach IV doch [mm]\red{2^n>n^2}[/mm]
Also [mm]2^{n+1}=\red{2^n}\cdot{}2 \ \red > \ \red{n^2}\cdot{}2=n^2+n^2[/mm]
Nun klar?
Gruß
schachuzipus
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