Induktionsbeweis < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Di 13.09.2005 | | Autor: | Asuka_04 |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe eine Frage zur Vollständigen Induktion.
Die Aufgabe lautet "Gesucht ist eine Formel für die Berechnung der Summe der ersten n durch 4 teilbaren natürlichen Zahlen, d.h. 4+8+12+...+4n."
Da muss der Induktionsbeweis durch geführt werden.
Folgende Tabelle habe ich mir als erstes gemacht:
n 1 2 3 4 5 n
a(n) 4 8 12 16 20 4n
s(n) 4 12 24 40 60
Nur durch ewiges Probieren bin ich auf die Summenformel: 2n(n+1) gekommen. Gibt es einen Weg, wie man durch rechnen auf diese Formel kommt?
Dann würde ich gerne noch wissen, ob diese Schritte richtig sind, und ob das Ergebnis auch korrekt ist, da ich mir unsicher bin.
[Induktionsanfang:] A (n=1)
s(1) = 4 = 2*n(n+1) = 2*1 (1+1) = 4 w.A.
[Induktionsvorraussetzung:] A(n=k)
s(k) = 4 + 8 + 12 + ... + 4k = 2k(k+1) sei wahr
[Induktionsbehauptung:] A (n=k+1)
s(k) = 4 + 8 + 12 + ...+4k + k+1 = 2k² + 3k + 1
[Induktionsbeweis:]
4 + 8 + 12 + ... 4k = 2k (k+1) | + (k+1)
s(k) + k + 1 = 2k² + 3k + 1
2k(k+1) + k+1 = 2k² + 3k + 1
2k² + 3k + 1 = 2k² + 3k + 1 was zu beweisen war (w.z.b.w.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Di 13.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Der Induktionsbeweis ist nicht ganz in Ordnung, darauf kann ja noch mal jemand eingehen (mir fehlt die Zeit). Ich möchte nur deine andere Frage beantworten:
> Nur durch ewiges Probieren bin ich auf die Summenformel:
> 2n(n+1) gekommen. Gibt es einen Weg, wie man durch rechnen
> auf diese Formel kommt?
Ja, klar, wenn man die Summenformel
[mm] $1+2+\ldots [/mm] + n = [mm] \sum\limits_{i=1}^n [/mm] i = [mm] \frac{n(n+1)}{2}$
[/mm]
kennt. Dann folgt nämlich:
$4+8+ [mm] \ldots [/mm] + 4n = [mm] \sum\limits_{i=1}^n [/mm] 4i = 4 [mm] \sum\limits_{i=1}^n [/mm] = 4 [mm] \cdot \frac{n(n+1)}{2} [/mm] = 2n(n+1)$.
Liebe Grüße
Stefan
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