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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Sa 07.11.2009 | | Autor: | f1ne |
| Aufgabe | Zeigen Sie durch vollständige Induktion die Gültigkeit der folgenden Summenformeln für alle
natürlichen Zahlen n [mm] \ge [/mm] 1:
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[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(2k -1) (2k+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{2n+1}
[/mm]
Also ich hab folgendes Problem, ich mach hundertprozentig einen Fehler. Zuerst habe ich linke und rechte Seite für n=1 berechnet und erhalte jeweils [mm] \bruch{1}{3} [/mm] also ist das schonmal richtig.
Als nächstes muss ich dann n+1 für n einsetzen
das heisst es ist zu zeigen dass: [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(2k -1) (2k+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{2(n+1)+1} [/mm] oder ?
Also:
r.s.: [mm] \bruch{n+1}{2(n+1)+1} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{2n+2+1} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{2n+3}
[/mm]
l.s: [mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{(2k -1) (2k+1)} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(2k -1) (2k+1)}+\bruch{1}{(2(n+1)-1) (2(n+1)+1)}
[/mm]
Ist das so richtig ? Ich bin mir leider unsicher bis hier, weil ich von dann an, immer falsche Ergebnisse herausbekomme.
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Hallo f1ne,
> Zeigen Sie durch vollständige Induktion die Gültigkeit
> der folgenden Summenformeln für alle
> natürlichen Zahlen n [mm]\ge[/mm] 1:
>
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> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(2k -1) (2k+1)}[/mm] =
> [mm]\bruch{n}{2n+1}[/mm]
>
> Also ich hab folgendes Problem, ich mach hundertprozentig
> einen Fehler. Zuerst habe ich linke und rechte Seite für
> n=1 berechnet und erhalte jeweils [mm]\bruch{1}{3}[/mm] also ist das
> schonmal richtig.
>
> Als nächstes muss ich dann n+1 für n einsetzen
>
> das heisst es ist zu zeigen dass: [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(2k -1) (2k+1)}[/mm]
> = [mm]\bruch{n+1}{2(n+1)+1}[/mm] oder ?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist zu zeigen, dass (unter der Voraussetzung der Gültigkeit von $\ n$ ) $ [mm] \summe_{k=1}^{\red{n+1}} \bruch{1}{(2k -1) (2k+1)} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{\red{n+1}}{2(\red{n+1})+1} [/mm] $ gilt.
>
> Also:
>
> r.s.: [mm]\bruch{n+1}{2(n+1)+1}[/mm] = [mm]\bruch{n+1}{2n+2+1}[/mm] =
> [mm]\bruch{n+1}{2n+3}[/mm]
>
> l.s: [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{(2k -1) (2k+1)}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(2k -1) (2k+1)}+\bruch{1}{(2(n+1)-1) (2(n+1)+1)}[/mm]
Das einsetzen von $\ n+1 $ dient nur dem Zweck, zu sehen, was dein Ziel ist - wo du hin möchtest. Das darfst du nicht verwenden oder davon ausgehend rumrechnen!
Du hast nicht mehr und nicht weniger als
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(2k -1) (2k+1)} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{n}{2n+1} [/mm] $
Und du willst zeigen, dass
$ [mm] \summe_{k=1}^{\red{n+1}} \bruch{1}{(2k -1) (2k+1)} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{\red{n+1}}{2(\red{n+1})+1} [/mm] $
gilt.
Ich würde mir überlegen, wie du von $ [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{(2k -1) (2k+1)} [/mm] $ nach $ [mm] \summe_{k=1}^{\red{n+1}} \bruch{1}{(2k -1) (2k+1)} [/mm] $ kommst.
Wenn dir etwas eingefallen ist, bedenke, dass du alles, was du links hinzufügst oder abziehst in gleicher Weise auf der rechten Seite ebenfalls tun musst.
Der Rest ist nur noch Vereinfachen/Zusammenfassen. Dann kommst du ans Ziel.
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> Ist das so richtig ? Ich bin mir leider unsicher bis hier,
> weil ich von dann an, immer falsche Ergebnisse
> herausbekomme.
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 So 08.11.2009 | | Autor: | f1ne |
Also ich hab bei der Aufgabe zuvor es eigentlich auf genau die gleiche Art und weise gemacht und bin zu der richtigen Lösung gekommen.
Vielleicht wär jemand so nett und würde mir mal die linke und rechte Seite für n+1 komplett ausrechnen. Dann kann ich mir das an Hand der Schritte die ihr vollzieht vielleicht besser erklären. Denn mit dem was du geschrieben hast Chop kann ich leider nichts anfangen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 So 08.11.2009 | | Autor: | f1ne |
Das hatte ich doch von Anfang an auch so auf meinem Zettel stehen und das ich im oberen Index auch n+1 reinmachen musst ist doch auch klar. Das hatte ich einfach hier übersehen einzutragen.
Mein Problem ist nur:
$ [mm] \blue{\bruch{n}{2n+1}}+\green{\bruch{1}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)}}\ [/mm] =\ [mm] \red{\bruch{n+1}{2n+3}} [/mm] $
richtig auszurechnen. Da mach ich den Fehler, aber ich weiss nicht wo genau.
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> Das hatte ich doch von Anfang an auch so auf meinem Zettel
> stehen
... hab ich auch gar nicht beanstandet ...
> und das ich im oberen Index auch n+1 reinmachen
> muss ist doch auch klar. Das hatte ich einfach hier
> übersehen einzutragen.
solche kleinen "Versehen" sind aber eben in
Formeln trotzdem schlimm !
> Mein Problem ist nur:
>
> [mm]\blue{\bruch{n}{2n+1}}+\green{\bruch{1}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)}}\ =\ \red{\bruch{n+1}{2n+3}}[/mm]
>
> richtig auszurechnen. Da mach ich den Fehler, aber ich
> weiss nicht wo genau.
1.) So hattest du die Gleichung aber noch gar nicht
hingeschrieben ...
2.) Den grünen Term kann man zuerst etwas
vereinfachen:
[mm] \green{\bruch{1}{(2\,n+1)(2\,n+3)}}
[/mm]
um den blauen und den grünen zu addieren,
den blauen mit [mm] (2\,n+3) [/mm] erweitern:
[mm] \blue{\bruch{n*(2\,n+3)}{(2n+1)*(2\,n+3)}}+\green{\bruch{1}{(2\,n+1)(2\,n+3)}}
[/mm]
addieren:
[mm] $\bruch{2\,n^2+3\,n+1}{(2n+1)*(2\,n+3)}$
[/mm]
Nun kann man den Zähler in zwei Faktoren
zerlegen, wovon dann einer weggekürzt
werden kann, voilà ...
LG Al-Chw.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
