Induktionsbeweis < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallihallo:)
Die Aufgabe lautet:
[mm] \summe_{k=o}^{N} k^2 [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm]
Mit dem INduktionsanfang komm ich klar aber der Induktionsschritt fällt mir nicht so leicht.
Ich habe das entsprechende eingesetzt aber mit dem zusammenfassen komme ich nicht klar sehe hier:
A(n+1) : [mm] \summe_{k=n+1}^{n+1} k^2= \bruch{n+1(n+1+1)(2n+1+1)}{6}=\bruch{n+1(n+2)(2n+2)}{6}
[/mm]
ich weiss nicht ob das richtig ist aber jetzt komm ich nicht mehr weiter.bitte um Hilfe danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Aniria |
Hi, irgendwie ist es komisch heute mit dem gabzen system...
zu deinem Problem:
> [mm]\summe_{k=o}^{N} k^2[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm]
>
>
>
> A(n+1) : [mm]\summe_{k=n+1}^{n+1} k^2= \bruch{n+1(n+1+1)(2n+1+1)}{6}=\bruch{n+1(n+2)(2n+2)}{6}[/mm]
>
jetzt:
> A(n+1) : [mm] \summe_{k=n+1}^{n+1} k^2=\summe_{k=0}^{n} k^2 [/mm] + [mm] (n+1)^{2}
[/mm]
Jetzt nur noch deine induktionsvorraussetzung einsetzen/verwenden und ausrechnen.
|
|
|
| |
|
Hallo Schlumpfine!
> Die Aufgabe lautet:
> [mm]\summe_{k=o}^{N} k^2[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm]
>
>
> Mit dem INduktionsanfang komm ich klar
Ok.
> aber der
> Induktionsschritt fällt mir nicht so leicht.
Wenn du gezeigt hast, dass der Induktionsanfang stimmt (wahrscheinlich hast du es für k=0 gemacht), dann nimmst du an, dass die Formel für eine beliebige Zahl n gilt.
Das ist die sogenannte Induktionsannahme.
Wenn du also gezeigt hast, dass k=0 stimmt, dann nimmst du jetzt an, dass auch [mm] \summe_{k=0}^{n}k^2=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] für ein beliebiges n gilt.
Da du zeigen sollst, dass es für alle Zahlen n gilt, musst du nun zeigen, dass es auch für n+1 gilt.
Das ist dann der Induktionsschritt, der Schritt von der für n angenommen Gültigkeit der Formel zum Beweis der Formel für n+1.
> Ich habe das entsprechende eingesetzt aber mit dem
> zusammenfassen komme ich nicht klar sehe hier:
>
> A(n+1) : [mm]\summe_{k=n+1}^{n+1} k^2= \bruch{n+1(n+1+1)(2n+1+1)}{6}=\bruch{n+1(n+2)(2n+2)}{6}[/mm]
Das ist also das, was du zeigen sollst (allerdings muss unter der Summe k=0 stehen).
Wenn du also gezeigt hast, dass [mm] \summe_{k=n+1}^{n+1}k^2 [/mm] wirklich [mm] \bruch{n+1(n+2)(2n+2)}{6} [/mm] ist, dann hast du es für alle Zahlen n gezeigt.
> ich weiss nicht ob das richtig ist aber jetzt komm ich
> nicht mehr weiter.bitte um Hilfe danke
Ich würde so ansetzen:
Teile die Summe auf: [mm] \summe_{k=0}^{n+1}k^2=\summe_{k=0}^{n}k^2+\summe_{k=n+1}^{n+1}k^2
[/mm]
Auf den ersten Summanden kannst du nun deine Induktionsvoraussetzung anwenden (also die Summe durch den konkreten Bruch ersetzen) und den zweiten Summanden kannst du direkt ausrechnen.
Noch zusammenfassen und du kommst auf den Bruch, den du raushaben willst 
LG, Nadine
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schlumpfine!
Du gehst etwas sehr nachlässig bzw. gar fahrlässig mit Klammern um.
Im Induktionsschritt musst Du zeigen:
[mm] $$\summe^{n+1}_{k=\red{0}} k^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\red{(}n+1\red{)}*[\red{(}n+1\red{)}+1]*[2*\red{(}n+1\red{)}+1]}{6} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n+1)*(n+2)*(2n+3)}{6}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
|
