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| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:
[mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+2})[/mm] |
Hallo,
hier mal mein ansatz:
Vermutung: [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+2})[/mm]
1. Induktionsanfang:
[mm]\summe_{k=1}^{1}\bruch{1}{k(k+2)}=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{1+1}-\bruch{1}{1+2})[/mm]
[mm]\bruch{1}{3}=\bruch{1}{3}[/mm] erfüllt
2. Induktionsvoraussetzung
[mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+2})[/mm] gilt [mm]\forall n \in \IN[/mm]
3. Induktionsschritt
[mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}+\bruch{1}{(n+1)(n+1+2)}=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{(n+1)+1}-\bruch{1}{(n+1)+2})[/mm]
[mm]=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+2}-\bruch{1}{n+3})[/mm]
ich hoffe mal, dass das soweit richtig ist.
so und nun komme ich nicht weiter...wie kann ich das jetz so zusammenfassen, dass es wieder die Ausgangsformel ergibt?
lg markus
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> Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:
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> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+2})[/mm]
> Hallo,
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> hier mal mein ansatz:
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> Vermutung:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+2})[/mm]
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> 1. Induktionsanfang:
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> [mm]\summe_{k=1}^{1}\bruch{1}{k(k+2)}=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{1+1}-\bruch{1}{1+2})[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{3}=\bruch{1}{3}[/mm] erfüllt
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> 2. Induktionsvoraussetzung
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> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+2})[/mm]
> gilt [mm]\forall n \in \IN[/mm]
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> 3. Induktionsschritt
Hallo,
Hier ist nun unter der Voraussetzung, daß die Induktionsvoraussetzung gilt zu zeigen, daß die Aussage auch für n+1 gilt, daß also
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k(k+2)}=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{(n+1)+1}-\bruch{1}{(n+1)+2}) =\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+2}-\bruch{1}{n+3}) [/mm] für alle [mm] n\in \IN [/mm] richtig ist.
Beweis:
Es ist
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k(k+2)}=
[/mm]
> [mm][mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}+\bruch{1}{(n+1)(n+1+2)}=...
[/mm]
Du darfst nun nicht einfach das hinschreiben, was Du haben möchstest, sondern Du mußt das, was Du hast, möglichst geschickt und unter Zuhilfenahme der Ind.vor. so umformen, daß am Ende [mm] ...=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+2}-\bruch{1}{n+3}) [/mm] dasteht.
Hierzu kannst Du die Summe [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)} [/mm] durch die Ind.vor. ersetzen.
> [mm][mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}+\bruch{1}{(n+1)(n+1+2)}=
[/mm]
= [mm] (Ind.vor.)+\bruch{1}{(n+1)(n+3)} [/mm] =...
und nun mußt Du schauen, ob Du zum Gewünschten kommst.
Gruß v. Angela
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hi,
erstmal danke für die Antwort, aber ich komme damit nicht so recht klar.
ich habe mir die antwort bestimmt 5-6 mal durchgelesen und irgendwie ist das doch das gleiche was ich geschrieben hab, oder?. =/
ich meine ich möchte doch nur wissen ob meine schritte soweit richtig waren und wie ich den letzten schritt umformen muss um auf die Lösung (also die ausgangsgleichung) zu kommen.
lg markus
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Hallo,
Du schriebst:
>> 3. Induktionsschritt
>> [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}+\bruch{1}{(n+1)(n+1+2)}=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{(n+1)+1}-\bruch{1}{(n+1)+2}) [/mm]
>> [mm] =\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+2}-\bruch{1}{n+3}) [/mm] $
>> ich hoffe mal, dass das soweit richtig ist.
Was Du geschrieben hast, ist das, was zu zeigen ist.
Gezeigt ist so noch nichts.
Gruß v. Angela
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ja ich weiss =)
du meintest ja auch das ich jetzt umformen muss (was ich im übrigen auch schon vorher wusste)... aber wie?
mfg markus
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Markus,
nun konkret würde ich für den Induktionsschritt so ansetzen:
$\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+2)}=\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+2)}\right)+\frac{1}{(n+1)(n+3)}\underbrace{=}_{\text{Ind.vor.}}\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)+\frac{1}{(n+1)(n+3)$
Nun würde ich für den hinteren Bruch, also für $\frac{1}{(n+1)(n+3)$ eine Partialbruchzerlegung machen.
Setzte dazu an: $\frac{1}{(n+1)(n+3)}=\frac{A}{n+1}+\frac{B}{n+3}$
Wenn du das machst, vereinfacht sich anschließend die ganze Sache sehr schnell zu dem gewünschten Zielterm.
Gruß
schachuzipus
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Besten Dank =)
also für die Parameter hab ich raus:
[mm]A=\bruch{1}{2}[/mm]
[mm]B=-\bruch{1}{2}[/mm]
damit komme ich dann auf:
[mm]\bruch{1}{(n+1)(n+3)}=\bruch{1}{2(n+1)}-\bruch{1}{2(n+3)}[/mm]
[mm]\bruch{1}{(n+1)(n+3)}=\bruch{1}{2}(\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+3})[/mm]
das mit der PBZ macht schon Sinn aber ich seh immer noch nicht wie ich auf die Ausgangsgleichung komme!?
lg markus
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quasi so?
[mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}+\bruch{1}{2}(\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+3})=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+2})+\bruch{1}{2}(\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+3})[/mm]
[mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}+\bruch{1}{2}(\bruch{1}{n+2}=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+2})+\bruch{1}{2}(\bruch{1}{n+2})[/mm]
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Mach's dir nicht zu schwer und behalte im Hinterkopf, was du im Induktionsschritt zeigen willst:
Ich schreibs mal im Ganzen auf (die Ind.vor. mache ich in rot)
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+2)}=\red{\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k(k+2)}\right)}+\blue{\frac{1}{(n+1)(n+3)}}=\red{\frac{1}{2}\cdot{}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)}+\blue{\frac{1}{(n+1)(n+3)}}$
[/mm]
[mm] $=\red{\frac{1}{2}\cdot{}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)}+\blue{\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{n+3}}=\frac{1}{2}\cdot{}\left[\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}+\blue{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}}\right]=\frac{1}{2}\cdot{}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)$
[/mm]
Und genau das war ja zu zeigen 
LG
schachuzipus
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besten dank...da starrt man ewigkeiten auf die gleichungen und siehts net
oh man
ich danke dir vielmals
lg markus
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