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| Aufgabe | | Verifizieren Sie mittels vollständiger Induktion die Formel: [mm] $a_i=\bruch{i*(i+1)}{2}$ [/mm] für alle $i [mm] \in \IN$, [/mm] für die Folge [mm] $(a_i)_{i \in \IN}=(0+1+...+i)_{i \in \IN}$ [/mm] bzw. [mm] $\red{a_0=0}$ $a_{i+1}=a_i [/mm] + (i+1)$ |
Hi,
Beweise sind noch nie mein Fall gewesen, trotzdem möchte ich die "Vollständige Induktion" lernen.
1. Induktionsbehauptung:
Also wenn ich das richtig verstanden habe, fängt man als erstes mit der Induktionsbehauptung, die nichts anderes ist also nochmal die Folge hinzuschreiben oder?
[mm] $a_i=\bruch{i*(i+1)}{2}$
[/mm]
2. Induktionsanfang:
Beim Induktionsanfang prüft man ob die Folge für ein [mm] $A_i$ [/mm] wahr ist? In dem Beispiel das ich hier verwende wurde $i=0$ gesetzt und dann nach einsetzen von i die Folge "richtig" sein. In diesem Beispiel wurde $i=0$ gewählt.
Könnte man theoretisch auch $i=20$ wählen und es müsste dann halt der entsprechende Wert für 20 herauskommen oder prüft man immer mit $i=0$???
Nach welchem Kriterium wird entschieden ob die Aussage wahr ist? Kann mir jemand für eine andere Folge oder ausgedachte Folge ein Beispiel geben, bei dem es nicht wahr ist?
$i=0$
[mm] $\red{a_0=0}$ [/mm] oder muss hier in diesem Fall [mm] $a_0=0$ [/mm] sein, da das oben der Startwert dieser induktiven Folge(ebenfalls rot markiert) in der Aufgabenstellung gegeben ist??? Wenn ja, wie wäre es dann wenn ich eine normale Folge hätte ohne Startwert???
Durch einsetzten:
[mm] $a_0=\bruch{0*(0+1)}{2}=0$ [/mm] d. h. [mm] $a_0$ [/mm] ist wahr.
3. Induktionsschritt:
Hier hänge ich am allermeisten. Ich habe verstanden, dass man jetzt die Folge aus der Induktionsbehauptung um +1 erhöht. Aber was mache ich dann bzw. was muss ich dann versuchen?
[mm] $a_{i+1}=\bruch{i+1*((i+1)+1)}{2}$
[/mm]
jetzt "vereinfache ich das ein wenig"
[mm] $a_{i+1}=\bruch{i+1*((i+2)}{2}$
[/mm]
Ab hier weiß ich dann aber nicht mehr weiter bzw. ich verstehe nicht was ich überhaupt zeigen soll.
Danke
Gruß Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:36 Mo 21.05.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Meistens fängt man auch mit i=1 oder so an... theoretisch würde sicher auch i=20 gehen, aber da warte ich selber noch auf eine Antwort ;) wir hatten das im Unterricht noch nicht. Kann sein, dass man als Mathematiker einfach zu faul ist, um erst die Zahlen von 1 bis 20 zusammenzuzählen! Naja, zumindest sehe ich bei Induktionsbeweisen, dass immer mit 0 oder 1 oder sonst der kleinsten zahl, die man einsetzen darf, angefangen wird.
Und bei der vereinfachung musst du das i+1 in Klammern setzen!
[mm] a_i=\bruch{(i+1)(i+2)}{2}
[/mm]
Ok, bis jetzt hast du gezeigt:
[mm] 1+2+3+4+5+...+i=\bruch{i(i+1)}{2}
[/mm]
Also müsste
[mm] 1+2+3+4+5+...+i+(i+1)=\bruch{i(i+1)}{2}+(i+1) [/mm] gelten!
Auf beiden Seiten einfach i+1 mehr.
Jetzt kannst du zeigen, dass [mm] a_i=\bruch{(i+1)(i+2)}{2} [/mm] genau dieser Ausdruck ist ;)
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Hallo Teufel!
> Meistens fängt man auch mit i=1 oder so an... theoretisch
> würde sicher auch i=20 gehen, aber da warte ich selber noch
> auf eine Antwort ;) wir hatten das im Unterricht noch
> nicht. Kann sein, dass man als Mathematiker einfach zu faul
> ist, um erst die Zahlen von 1 bis 20 zusammenzuzählen!
> Naja, zumindest sehe ich bei Induktionsbeweisen, dass immer
> mit 0 oder 1 oder sonst der kleinsten zahl, die man
> einsetzen darf, angefangen wird.
Wenn Du erst bei i = 20 anfangen würdest, wäre eben nicht für alle n [mm] \in \IN [/mm] der Beweis erbracht worden - es sei denn, da steht, daß ein Zusammenhang erst ab i = 20 gilt. Das hat weniger mit Faulheit, sondern mehr mit Sorgfalt zu tun.
LG
Karsten
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 Mo 21.05.2007 | | Autor: | Teufel |
Hoi!
Achso! Hab ich mir auch schon so gedacht, aber ich dachte, dass es mit dem Induktionsafnag da schon mitgezeigt wurde... naja, nun weiß ichs 100%ig!
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Hi, danke für deine Antwort,
ich hab dazu noch Fragen.
> Meistens fängt man auch mit i=1 oder so an... theoretisch
> würde sicher auch i=20 gehen, aber da warte ich selber noch
> auf eine Antwort ;) wir hatten das im Unterricht noch
> nicht. Kann sein, dass man als Mathematiker einfach zu faul
> ist, um erst die Zahlen von 1 bis 20 zusammenzuzählen!
> Naja, zumindest sehe ich bei Induktionsbeweisen, dass immer
> mit 0 oder 1 oder sonst der kleinsten zahl, die man
> einsetzen darf, angefangen wird.
>
>
> Und bei der vereinfachung musst du das i+1 in Klammern
> setzen!
>
> [mm]a_i=\bruch{(i+1)(i+2)}{2}[/mm]
>
>
> Ok, bis jetzt hast du gezeigt:
>
> [mm]1+2+3+4+5+...+i=\bruch{i(i+1)}{2}[/mm]
[mm] $\underbrace{1+2+3+4+5+...+i}_{\blue{Dieser\ Ausdruck\ ist\ doch\ immer\ gleich\ bei\ jedem\ Induktionsbeweis\ einer\ Folge\ oder???\ Da\ es\ einfach\ die\ "Werte"\ von\ i\ sind.}}=\bruch{i(i+1)}{2}$
[/mm]
>
> Also müsste
>
> [mm]1+2+3+4+5+...+i+(i+1)=\bruch{i(i+1)}{2}+(i+1)[/mm] gelten!
> Auf beiden Seiten einfach i+1 mehr.
>
> Jetzt kannst du zeigen, dass [mm]a_i=\bruch{(i+1)(i+2)}{2}[/mm]
[mm] $\underbrace{a_i=\bruch{(i+1)(i+2)}{2}}_{\blue{Jetzt\ muss\ ich\ zeigen\ wie\ ich\ von\ diesem\ Audruck\ auf\ diesen\ \bruch{i(i+1)}{2}+(i+1)\ komme\ oder???\ }}$
[/mm]
> genau dieser Ausdruck ist ;)
Danke.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
1.)
Keine Ahnung, was du damit meinst,d ass das immer gleich sein soll. Es gibt ja noch mehr solcher speziellen Partialsummen, z.B. [mm] 1+4+9+14+...+n²=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}.
[/mm]
(Summe der ersten n Quadratzahlen)
Frag mich nicht wie man auf sowas kommt, aber das könnte man sicher auch induktiv beweisen.
Und 2.)
Jo, entweder so, oder andersrum. Wenn du das geschafft hast, kannst du auf beiden Seite wieder i+1 wegkürzen und erhälst das, was du ganz am Anfang hattest und schon als richtig bestätigt hast.
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