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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Fritze15 |
Wie gehe ich bei diesem Induktionsbeweis die Induktionsvorraussetzung an?
[mm] \summe_{k=0}^{n}a^{k}b^{n-k}=\bruch{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}
[/mm]
Was ist mit k wenn n=1.
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> Wie gehe ich bei diesem Induktionsbeweis die
> Induktionsvorraussetzung an?
> [mm]\summe_{k=0}^{n}a^{k}b^{n-k}=\bruch{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}[/mm]
> Was ist mit k wenn n=1.
Hallo,
für n=1 nimmt k nur die Werte 0 und 1 an, denn k "läuft von 0 bis n".
Für n=1 hast Du also [mm] \summe_{k=0}^{1}a^{k}b^{1-k}=a^{0}b^{1-0}+a^{1}b^{1-1}.
[/mm]
Nun mußt Du nachschauen, ob das dasselbe ist wie [mm] \bruch{a^{1+1}-b^{1+1}}{a-b}.
[/mm]
Das ist dann Dein Induktionsanfang.
Gruß v. Angela
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Hallo Fritze!
Oder Du startest Deine Induktion (sprich: den Induktionsanfang) mit $n \ = \ 0$ , was auch zulässig ist.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Fritze15 |
Ist dann die Induktionsbehauptung:
[mm] \bruch{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}+a^{n+1}-b^{n-n+1}=\summe_{k=0}^{n}a^{k}b^{n-k}=\bruch{a^{n+1+1}-b^{n+1+1}}{a-b}
[/mm]
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Hallo,
zeigen möchtest Du ja per Induktion, daß
$ [mm] \summe_{k=0}^{n}a^{k}b^{n-k}=\bruch{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b} [/mm] $ für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt.
Dazu zeigst Du zunächst, daß es für n=1 (oder n=0) gilt.
Der nächste Schritt ist die Induktionsvoraussetzung (-annahme):
man nimmt einfach an, daß die zu beweisende Behauptung gilt. (Hier ist nichts weiter zu tun).
Dann kommt der Schritt, der richtig Arbeit macht, der Schluß von n auf n+1, der Induktionsschluß.
Unter der Voraussetzung, daß die Behauptung gilt, zeigt man, daß sie auch für n+1 richtig ist.
Du mußt in diesem Schritt zeigen, daß
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}a^{k}b^{n+1-k}=\bruch{a^{n+1+1}-b^{n+1+1}}{a-b}
[/mm]
richtig ist.
Du startest mit [mm] \summe_{k=0}^{n+1}a^{k}b^{n+1-k}= [/mm] und formst dies unter Verwendung der Voraussetzung so lange (und richtig) um, bis am Ende [mm] \bruch{a^{n+1+1}-b^{n+1+1}}{a-b} [/mm] dasteht.
Ich mache Dir den Anfang:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}a^{k}b^{n+1-k}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}a^{k}b^{n+1-k} [/mm] + [mm] a^{n+1}b^{n+1-(n+1)}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}a^{k}b^{n-k}*b [/mm] + [mm] a^{n+1}b^{n+1-(n+1)}
[/mm]
=...
Gruß v. Angela
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