Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Carlchen |
| Aufgabe | Man beweise durch vollständige Induktion:
Für alle natürlichen Zahlen [mm] n > 0 [/mm] gilt:
[mm] \left(\bruch{n}{3}\right)^n \le \bruch{1}{3} n![/mm] |
Hi Freunde,
benötige ein bisschen Schützenhilfe bei dieser Aufgabe. :)
Also:
(IV): [mm] \left(\bruch{n}{3}\right)^n \le \bruch{1}{3} n![/mm] gilt für [mm] n > 0 [/mm]
(IA): [mm]\bruch{1}{3} = \bruch{1}{3}[/mm] stimmt!
(IB): [mm]n \to n+1[/mm]
[mm]\Rightarrow \left(\bruch{n+1}{3}\right)^{n+1} \le \bruch{1}{3} (n+1)![/mm]
[mm]\Rightarrow \left(\bruch{n+1}{3}\right) \left(\bruch{n+1}{3}\right)^n \le \bruch{1}{3} n! (n+1)[/mm]
[mm]\Rightarrow \left(\bruch{n+1}{3}\right)^n \le n! [/mm]
Bis hierhin. Nun komm ich nicht weiter bzw. ich weiß nicht, was ich genau machen könnte/soll.
Wäre für jede Hilfe dankbar. :)
Gruß Carlchen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 So 19.11.2006 | | Autor: | Carlchen |
Hat keiner eine Idee? :)
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Hallo Carlchen,
Für den Induktionsschritt brauchst du noch [mm](1+\bruch{1}{n})^n <3[/mm].
M.E. geht das am einfachsten, wenn man die Folgen [mm] $(a_n), (b_n)_{n>0}$, [/mm] definiert durch
[mm]a_n:=(1+\bruch{1}{n)^n,\quad b_n:=(1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}[/mm] betrachtet und zeigt: [mm] $b_n<3$, $(b_n)$ [/mm] ist streng monoton fallend, und [mm] $a_n
Gruß
zahlenspieler
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