Induktionsbew. 1er Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Pepe17 |
| Aufgabe | Beweise durch vollständige Induktion:
[mm] \wurzel{n}*n > n + \wurzel{n} [/mm]
für [mm] n >2 , x\in\IN\sub [/mm] |
Ich hänge gerade an der Formulierung des Induktionschrittes...
vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Beweise durch vollständige Induktion:
>
> [mm]\wurzel{n}*n > n + \wurzel{n} [/mm]
>
> für [mm]n >2 , x\in\IN\sub[/mm]
> Ich hänge gerade an der
> Formulierung des Induktionschrittes...
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Im Induktionsschritt mußt Du beweisen, daß diese Aussage auch für n+1 gilt, daß also [mm] \wurzel{n+1}*(n+1) [/mm] > (n+1) + [mm] \wurzel{n+1} [/mm] richtig ist, unter der Voraussetzung, daß die Aussage [mm] \wurzel{n}*n [/mm] > n + [mm] \wurzel{n} [/mm] stimmt.
Du startest mit [mm] \wurzel{n+1}*(n+1) [/mm] und mußt durch geschicktes Rechnen und Abschätzen unter Verwendung von [mm] \wurzel{n}*n [/mm] > n + [mm] \wurzel{n} [/mm] erreichen, daß Du eine Ungleichungskette bekommst, an deren Ende (n+1) + [mm] \wurzel{n+1} [/mm] steht.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Pepe17 |
hallo angela!
meine vorgehensweise:
Annahme: [mm] \wurzel{n}\cdot{n} [/mm] > n + [mm] \wurzel{n} [/mm] ist korrekt.
Dann muss [mm] \wurzel{n+1}\cdot{(n+1)} [/mm] > (n+1) + [mm] \wurzel{n+1} [/mm] sein.
[mm] \wurzel{n+1}\cdot{(n+1)} [/mm]
= [mm] \wurzel{n+1}\cdot{n} [/mm] + [mm] \wurzel{n+1}
[/mm]
= [mm] \wurzel{n+1}\cdot{n}+\wurzel{n+1}+(n+1)-(n+1)
[/mm]
= [mm] (n+1)+\wurzel{n+1}+\wurzel{n+1}\cdot{n}-(n+1)
[/mm]
> [mm] (n+1)+\wurzel{n+1} [/mm]
die letzte Aussage ist wahr, wenn [mm] \wurzel{n+1}\cdot{n}-(n+1)>0
[/mm]
ist.
Also
[mm] \wurzel{n+1}\cdot{n}>(n+1)
[/mm]
[mm](n+1)n²>n²+2n+1[/mm]
[mm]n³-2n-1>0[/mm]
Dies ist für [mm]n>2[/mm], was laut Aufgabenstellung vorliegt, der Fall.
damit ist
[mm] \wurzel{n+1}\cdot{(n+1)}>(n+1)+\wurzel{n+1} [/mm]
kann man das so sagen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:27 Sa 21.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Beweis ist vollständig richtig. Nur ist es kein Beweis durch vollst. Induktion. und wenn du die nicht brauchst ist es auch nicht nötig bei n+1 anzufangen, sondern du kannst direkt die erste Gleichung mit weniger Aufwand beweisen:
schreibe um in [mm] n*\wurzel{n}-\wurzel{n}>n,
[/mm]
[mm] \wurzel{n}(n-1)>n, [/mm] weil das für [mm] n\ge2 [/mm] positiv ist kannst du beide Seiten quadrieren, und bist schnell fertig.
Wenn du unbedingt vollst. Induktion anwenden MUSST, dann tu das mit der quadrierten umgestellten Gl.
Gruss leduart.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Sa 21.04.2007 | | Autor: | Pepe17 |
Ja, der Beweis muss durch vollständige Induktion erfolgen.
Mir kommt das alles aber immernoch etwas spanisch vor. Beim Beweisen von Summen durch Induktion habe ich nicht solche Probleme - bei dieser Ungleichung hingegen fehlt mir komplett das konzept, da meine bisherige Strategie für den Induktionsschritt, also
-Aussage(n+1) aufstellen
-Umformen bis ich Aussage(n) erhalte
...bei Ungleichungen nicht mehr zieht.
Im Prinzip habe ich jetzt folgendes gemacht:
-Aussage(n+1) aufgestellt
-umgeformt, so dass Aussage A(n) in der Ungleichung enthalten(!!) ist
-diese subtrahiert und geprüft, ob der Rest eine wahre Aussage darstellt.
Die Frage ist nur, ist so ein Beweis durch vollständige Induktion erbracht??
vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Sa 21.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte ja zu deiner vorigen Lösg geschrieben, dass das keine Lösg mit vollst. Ind. war.
> -Aussage(n+1) aufgestellt
> -umgeformt, so dass Aussage A(n) in der Ungleichung
> enthalten(!!) ist
> -diese subtrahiert und geprüft, ob der Rest eine wahre
> Aussage darstellt.
das kommt drauf an, was du damit meinst "diese subtrahiert"
dann kann es richtig sein, wenn du das richtig gemacht hast, d.h. wie und wo du subtr. hast.
hier kann man ohne die Ungl vorher so umzuformen, das [mm] \wurzel{n} [/mm] nicht mehr vorkommt, kaum so umformen dass die vorherige Ungl vorkommt, weil [mm] \wurzel{n} [/mm] und [mm] \wurzel{n+1} [/mm] nicht ineinander umformbar sind.
Also um dir zu sagen, ob was richtig ist, musst dus leider etwas genauer aufschreiben.
Gruss leduart
>
> Die Frage ist nur, ist so ein Beweis durch vollständige
> Induktion erbracht??
>
>
> vielen Dank!
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Sa 21.04.2007 | | Autor: | Pepe17 |
es tut mir leid...
ich rechne jetzt schon seit gestern Abend an dieser Aufgabe herum und ich komm einfach auf kein vernünftiges Ergebnis. Bei 3 weiteren Beweisen hatte ich keine Probleme, doch hier fehlt mir jedes Konzept.
eine beidseitige Division mit (n+1), anschließende Quadrierung und Subtraktion von 1 führt zu
[mm]n>\bruch{1}{(n+1)}+\bruch{2}{\wurzel{(n+1)}}[/mm]
wenn ich jetzt noch beide seiten mit [mm] \wurzel{n} [/mm] multiplizieren würde, stünde wenigstens schon mal auf der linken Seite die Aussage(n).
Aber alle Versuche, die rechte Seite irgendwie auf [mm]\wurzel{n}+n[/mm] zu bringen, schlugen fehl.
Wie gesagt, ich weiß im Prinzip was zu tun ist-doch hier steh ich völlig auf der Leitung.
danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Sa 21.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> eine beidseitige Division mit (n+1), anschließende
> Quadrierung und Subtraktion von 1 führt zu
>
> [mm]n>\bruch{1}{(n+1)}+\bruch{2}{\wurzel{(n+1)}}[/mm]
keine Ahnung was du gemacht hast. aber ich hatte dir geschrieben du sollst nicht die ursprüngliche Ungleichung, sondern die, in der keine Wurzel mehr vorkommt:
also zuerst zeigen, dass für n>2 die gegebene Ungl. und
die Ungleichung [mm] n*(n-1)^2>n^2 [/mm] äquivalent sind.
und das ist äquivalent [mm] (n-1)^2>n [/mm]
so bevor du das mit Induktion machst beweis es direkt, um denen, die die Übung gestellt haben zu zeigen, dass sie blöd ist!
dann musst du aber ne Induktion machen!
Also los:
Vors [mm] :(n-1)^2>n [/mm] daraus für n+1
Beh: [mm] n^2>n+1
[/mm]
wegen Vors. gilt: [mm] n+1<(n-1)^2+1 [/mm] (Ungl umgekehrt hingeschrieben
also [mm] n+1
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:41 So 22.04.2007 | | Autor: | Pepe17 |
okay, jetzt habe ich es verstanden! war eine schwere geburt...
vielen dank!
|
|
|
|
