Induktionsaufgaben < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Zeigen Sie, dass für alle $ [mm] n\varepsilon\IN,n\ge4 [/mm] $ folgende Ungleichung gilt:
$ n! > [mm] 2^n [/mm] $
Prüfen ob es für $ n = 4 $ gilt.
$ 4! > [mm] 2^4 [/mm] $
$ 24 > 16 $ - STIMMT
Prüfen ob es für $ n+1 $ gilt.
$ (n+1)! > [mm] 2^{n+1} [/mm] $
$ [mm] \gdw [/mm] (n+1) * n! > 2* [mm] 2^n [/mm] $
Gilt also auch für $ n+1 $, wir haben gezeigt das die grundform wahr ist. Außerdem folgt das$ n+1 > 2$ ist für$ n [mm] \ge [/mm] 4 $ |
| Aufgabe 2 | Beweisen Sie folgende Summenformel mit Hilfe der vollständigen
Induktion:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(3k-2)(3k+1)}=\bruch{n}{3n+1} [/mm] $
Induktionsanfang :
A(1) $ [mm] \summe_{k=1}^{1}\bruch{1}{(3*1-2)(3*1+1)}=\bruch{1}{3*1+1}$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{1}{4}=\bruch{1}{4} [/mm] $
Induktionsende, gilt für n :
$ [mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{(3k-2)(3k+1)}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(3k-2)(3k+1)}+\bruch{1}{(3*(n+1)-2)(3*(n+1)+1)} [/mm] $
Induktionsannahme :
[mm] \bruch{n}{3n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(3*(n+1)-2)(3*(n+1)+1)} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{n}{3n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(3n+1)(3n+4)}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{n*(3n+4)}{(3n+1)(3n+4)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(3n+1)(3n+4)}
[/mm]
ist das bis hierhin richtig?
Induktionsziel :
[mm] \bruch{n+1}{3n+4} [/mm] |
Habe ich die aufgaben soweit richtig gerechnet?
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> Zeigen Sie, dass für alle [mm]n\varepsilon\IN,n\ge4[/mm] folgende
> Ungleichung gilt:
> [mm]n! > 2^n[/mm]
> Prüfen ob es für [mm]n = 4[/mm] gilt.
> [mm]4! > 2^4[/mm]
> [mm]24 > 16[/mm] - STIMMT
>
> Prüfen ob es für [mm]n+1[/mm] gilt.
> [mm](n+1)! > 2^{n+1}[/mm]
> [mm]\gdw (n+1) * n! > 2* 2^n[/mm]
Achte in der Klausur darauf, dass du das Schema der vollständigen Induktion (also Induktionsanfang,Induktionsvoraussetzung, Induktionsschluss sauber hinschreibst! Darauf gibt es meist schon nen Punkt.)
Du hast hier nicht die Induktionsvoraussetzung benutzt.
IV: [mm]2^n
Wie gestern schon erwähnt musst du nun mit Hilfe der IV abschätzen:
siehe Hier: https://matheraum.de/read?t=854583 meine Antwort.
Versuchs mal.
> Beweisen Sie folgende Summenformel mit Hilfe der
> vollständigen
>
> Induktion:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(3k-2)(3k+1)}=\bruch{n}{3n+1}[/mm]
>
> Induktionsanfang :
> A(1)
> [mm]\summe_{k=1}^{1}\bruch{1}{(3*1-2)(3*1+1)}=\bruch{1}{3*1+1}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{4}=\bruch{1}{4}[/mm]
>
> Induktionsende, gilt für n :
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{(3k-2)(3k+1)}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(3k-2)(3k+1)}+\bruch{1}{(3*(n+1)-2)(3*(n+1)+1)}[/mm]
>
> Induktionsannahme :
> [mm]\bruch{n}{3n+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(3*(n+1)-2)(3*(n+1)+1)}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{n}{3n+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(3n+1)(3n+4)}[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{n*(3n+4)}{(3n+1)(3n+4)}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{(3n+1)(3n+4)}[/mm]
> ist das bis hierhin richtig?
>
> Induktionsziel :
> [mm]\bruch{n+1}{3n+4}[/mm]
Das schaut gut aus.
Du kannst die Terme nun auf einen Bruchstrich schreiben.
Berechne die Nullstellen des Quadratischen Terms und Faktorisiere.
Valerie
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> $ n! > [mm] 2^n [/mm] $
> Prüfen ob es für $ n = 4 $ gilt.
> $ 4! > [mm] 2^4 [/mm] $
> $ 24 > 16 $ - STIMMT
>
> Prüfen ob es für $ n+1 $ gilt.
> $ (n+1)! > [mm] 2^{n+1} [/mm] $
> $ [mm] \gdw [/mm] (n+1) [mm] \cdot{} [/mm] n! > [mm] 2\cdot{} 2^n [/mm] $
hm. okay ich verscuhs mal.
Es sei A(n) [mm] \to [/mm] A(n+1)
(n+1)! = (n+1) * n! > [mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2^n [/mm] * 2
so?
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> Es sei A(n) [mm]\to[/mm] A(n+1)
> (n+1)! = (n+1) * n! > [mm]2^{n+1}[/mm] = [mm]2^n[/mm] * 2
Du hast hier nirgends deine Induktionsvoraussetzung eingesetzt.
Außerdem hast du nur die Fakultät und die Potenz umgeschrieben!
Da dies zum Beweisprinzip der Vollständigen Induktion gehört, solltest du schon irgendwo verwenden, dass [mm]2^n
Wie schon erwähnt sollst du so anfangen:
[mm]2^{n+1}= .......... \overbrace{<}^{Induktionsvoraussetzung} .......... \overbrace{<}^{\textrm{Hier schätzt du nun ab}} ..........[/mm]
Insgesamt zeige also, dass: [mm] 2^{n+1}<(n+1)!
[/mm]
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Ich glaub das problem liegt genau da, dass ich nich weiß was ich zu tun hab.
Induktionsvoraussetzung is mir geläufig aber abschätzen versteh ich beim besten willen nich...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Do 05.01.2012 | | Autor: | bonzai0710 |
Also ich glaube du solltest einfach schritt für schritt machen und nicht versuchen abzukürzen.
Geh wirklich alles durch
Basis
Vorraussetzung
Behauptung
Schritt!
InduktionsBasis
Also deine Basis hast du mit n = 4 Bestimmt
4! > 2^_{4}
InduktionsVorrausetzung
n! > 2^_{n}
InduktionsBehauptung
(n+1)! > 2^_{n+1}
InduktionsSchritt
n! > 2^_{n}
Und diesen Term formst du jetzt um bis du die Behauptung hast dann hast du es geschafft 
Kleiner tipp noch ich form immer als erstes die linke seite zur Behauptun um und schätz dann die Rechte ab. Besonders am anfang ist es eigentlich unerlässlich sich wirklich genau an dieses shema zu halten da dadurch die Aufgaben sehr leicht werden!
ps ich hoffe mir ist Valerie nicht böse das ich hier gepostet habe.
mfg
Christoph
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Hallo,
meiner ANsicht nach bist du gar nicht so ganz auf der falschen Spur, denn gedanklich hast du die IV durchaus verwendet. Das Problem an der Beweismethode der vollständigen Induktion ist ein wenig vielschichtig.
Rein mathematisch ist das Gleichheitszeichen eine Äquivalenzralation und auch die Aussagen a<b und b>a sind äquivalent. Nur, in der Mathematik reichen oftmals die quantitativen Überlegungen zwar aus, aber man muss unheimlich aufpassen, dass man nicht Dinge verwendet, die noch gar nicht gezeigt bzw. eben nicht Teil der Induktionsannahme sind. Vielleicht hast du schon solche Beipielaufgaben gesehen von Induktionsaufgaben, wo falsche Dinge per Induktion bewiesen werden, und der Fehler ist manchmal nicht so ganz leicht zu finden. Aus diesen Gründen wird natürlich an der Uni auch stark auf den qualitativen Aspekt der behandelten Methoden geachtet. Und das wird dann eben durchaus auch bewertet, was gerade bei Induktionsbeweisen manchmal zu Unstimmigkeiten führt.
Der langen Rede kurzer Sinn: der Hinweis von Valerie20 war schon ok, das mit dem Abschätzen ist auch die übliche Methode bei diesem Klassiker hier. Nur: du hast di IV drin, du solltest eben nur vorher begründen, dass n+1>2 für [mm] n\ge{2}, [/mm] also auch für [mm] n\ge{4}. [/mm] Und dann muss man verwenden, dass für a,b,c,d>0
a<b [mm] \wedge [/mm] c<d [mm] \Rightarrow [/mm] ac<bd
gilt. Dies ist eine einleuchtende Regel, welche aus den Anordnungsaxiomen sowie dem Trichotomiegesetz folgt. Aber: es sollte bereits bewiesen sein, und das kannst natürlich nur du wissen.
Gruß, Diophant
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| Aufgabe | Ziel ist : $ (n+1) * n! > 2 * [mm] 2^n [/mm] (oder [mm] 2^{n+1}) [/mm] $
Wir haben $ n! > [mm] 2^n [/mm] $ da setzten wir die induktionsbehauptung n+1 ein.
$ n! * (n+1) > [mm] 2^n [/mm] * (n+1) = n! * (n+1) > [mm] 2^n [/mm] * n + [mm] 2^n [/mm] $ |
Ich glaub ich habs verstanden. Das ergibt jetzt voll sinn...
Wir haben $ n! > [mm] 2^n [/mm] $ da setzten wir die induktionsbehauptung n+1 ein.
$ n! * (n+1) > [mm] 2^n [/mm] * (n+1) = n! * (n+1) > [mm] 2^n [/mm] * n + [mm] 2^n [/mm] $
Ist das richtig soweit?
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Hallo,
andersherum wird ein Schuh daraus: wir haben die Behauptung
[mm] (n+1)!>2^{n+1}
[/mm]
was gleichwertig ist mit
[mm](n+1)*n!>2*2^n[/mm]
Das stimmt aber aus zwei Gründen:
- der Induktionsvoraussetzung [mm] n!>2^n
[/mm]
- der Ungleichung n+1>2 für n>1, die zwar trivial ist, auf die man aber vorher verweisen sollte.
Dennoch: falls du das für eine kommende Klausur übst, schaue dir die Sache mit der Abschätzung auch noch an. Das geht bspw. so:
[mm] 2^{n+1}=2*2^n<2*n!<(n+1)*n!=(n+1)!
[/mm]
Bei der ersten Ungleichheit habe ich dabei die Intuktionsvoraussetzung benutzt, bei der zweiten eben wieder n+1>2. Wie gesagt, gedanklich unterscheidet es sich beim ersten Blick nicht besonders, formal schon sehr. Während man eben bei deiner Methode leicht Gefahr läuft, etwas falsches zu beweisen, kann bei der Abschätzung (natürlich immer so lange sie stimmt) eben rein logisch nichts schief laufen.
Ich hoffe, das hilft dir noch ein Stückchen weiter.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Do 05.01.2012 | | Autor: | ObiKenobi |
Danke, jetzt versteh ich endlich was ihr die ganze zeit mit der Abschätzung meint...
Whao. bin ich doof -.-
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Hallo,
Vielen dank erstmal für eure super hilfe. Ich werd solangsam richtig Fit was Induktionen angeht.
Was mir allerdings noch so einige probleme bereitet ist, von der Induktionsannahme auf das Induktionsziel zu kommen.
Kleines beispiel :
[mm] \summe_{k=1}^{n}k!k=(n+1)!-1
[/mm]
Zu erreichen wäre dann ja demzufolge:
(n+2)!-1
Die Induktionsannahme hab ich auch aufgesteltt :
[mm] \summe_{k=1}^{n}k!k+(n+1)!n+1\overbrace{=}^{i.A.}(n+1)!-1+(n+1)!(n+1)
[/mm]
Leider komm ich jetzt um verrecken nicht auf (n+2)!-1. Ich hab das mal in WolframAlpha gehackt und kam darauf dass das (n+1)!-1+(n+1)!(n+1) das gleiche ist wie (n+1)!(n+1)!-1 also (n+2)!-1
Aber wie komm ich darauf? Mir fehlen dafür irgendwie die "regeln".
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> Hallo,
>
> Vielen dank erstmal für eure super hilfe. Ich werd
> solangsam richtig Fit was Induktionen angeht.
>
> Was mir allerdings noch so einige probleme bereitet ist,
> von der Induktionsannahme auf das Induktionsziel zu
> kommen.
>
> Kleines beispiel :
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k!k=(n+1)!-1[/mm]
>
> Zu erreichen wäre dann ja demzufolge:
> (n+2)!-1
>
> Die Induktionsannahme hab ich auch aufgesteltt :
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k!k+(n+1)!n+1\overbrace{=}^{i.A.}(n+1)!-1+(n+1)!(n+1)[/mm]
>
> Leider komm ich jetzt um verrecken nicht auf (n+2)!-1. Ich
> hab das mal in WolframAlpha gehackt und kam darauf dass das
> (n+1)!-1+(n+1)!(n+1) das gleiche ist wie (n+1)!(n+1)!-1
> also (n+2)!-1
>
> Aber wie komm ich darauf? Mir fehlen dafür irgendwie die
> "regeln".
>
Hallo!
Dein Vorgehen ist richtig.
Du möchtest also [mm](n+1)!-1+(n+1)! \cdot (n+1)[/mm] in das [mm](n+2)!-1[/mm] überführen.
Um das Ganze zu vereinfachen, mach dir klar, dass:
[mm]\red{(n+2)!-1=(n+2) \cdot (n+1)!-1}[/mm]
Es ist hier wichtig zu verstehen, dass[mm]\red{(n+2) \cdot (n+1)! = (n+2)!}[/mm]
So, nun zur linken Seite:
[mm](n+1)!-1+(n+1)! \cdot (n+1)[/mm]
Diesen Term stellen wir erstmal um:
[mm](n+1)!+(n+1)! \cdot (n+1)-1 [/mm]
Nun klammere (n+1)! aus.
Damit hast du dein Ergebnis.
Valerie
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| Aufgabe | | [mm] \produkt_{k=0}^{n-1}(1+x^{2^{k}}=\summe_{m=0}^{2^{n}-1}x^m [/mm] |
Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen.
Hab jetzt noch eine Letzte aufgabe auf dem Blatt mit der ich absolut nichts anfangen kann. Da weiß ich nichtmal wie ich den Induktionsanfang machen soll...
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> [mm]\produkt_{k=0}^{n-1}(1+x^{2^{k}}=\summe_{m=0}^{2^{n}-1}x^m[/mm]
> Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen.
>
>
> Hab jetzt noch eine Letzte aufgabe auf dem Blatt mit der
> ich absolut nichts anfangen kann. Da weiß ich nichtmal wie
> ich den Induktionsanfang machen soll...
n, m sind vermutlich Element N... Schreib bitte die ganze Angabe hin.
Die Aufgabe schaut auf den ersten Blick zwar relativ kompliziert aus, funktioniert aber genauso wie deine anderen Aufgaben.
Fange also genau so an wie sonst.
Setze zuerst n=0 und Schau ob dein Induktionsanfang stimmt.
Dazu solltest du dich allerdings mit den Rechenregeln für Produkte und Summen vertraut machen.
Wie ist also: [mm]\produkt_{i=0}^{-1} [/mm] definiert und was ist [mm]\summe_{i=0}^{0} }x_i[/mm]
Valerie
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| Aufgabe | Beweisen Sie für alle reelen Zahlen [mm] x\varepsilon\IR [/mm] und alle natürlichen Zahlen [mm] n\varepsilon\IN [/mm] folgende Aussage:
$ [mm] \produkt_{k=0}^{n-1}(1+x^{2^{k}})=\summe_{m=0}^{2^{n}-1}x^m [/mm] $ |
Hier das ist die komplette aufgabenstellung.
Dann werd ihc mich mal mit den Rechenregeln die das betrifft außeinandersetzen...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo ObiKenobi!
Denn Induktionsanfang würde ich hier bei [mm]n \ = \ \red{1}[/mm] ansetzen.
Für den Induktiosnschritt solltest Du dann z.B. bedenken, dass gilt:
[mm]\produkt_{k=0}^{(n+1)-1}\left(1+x^{2^{k}}\right) \ = \ \produkt_{k=0}^{n}\left(1+x^{2^{k}}\right) \ = \ \left(1+x^{2^{n}}\right)*\produkt_{k=0}^{n-1}\left(1+x^{2^{k}}\right) \ = \ ...[/mm]
Gruß
Loddar
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| Aufgabe 1 | [mm] \produkt_{k=0}^{0}(1+x^{2^{0}}=\summe_{m=0}^{1}x^0+x^1\gdwx+1=x+1
[/mm]
Induktionsziel : [mm] \summe_{m=0}^{2^{n+1}-1}x^m
[/mm]
Induktionsschluss:
$ [mm] \produkt_{k=0}^{(n+1)-1}\left(1+x^{2^{k}}\right) [/mm] \ = \ [mm] \produkt_{k=0}^{n}\left(1+x^{2^{k}}\right) [/mm] \ = \ [mm] \left(1+x^{2^{n}}\right)\cdot{}\produkt_{k=0}^{n-1}\left(1+x^{2^{k}}\right) [/mm] \ [mm] \overbrace{=}^{i.A.} (1+x^{2^{n}})*\summe_{m=0}^{2^n-1}=x^m [/mm] $ |
| Aufgabe 2 | [mm] \summe_{k=1}^{2n+1}k^2*(-1)^{k+1}=(n+1)(2n+1)
[/mm]
Induktionsanfang A(1):
[mm] \summe_{k=1}^{3}1^2*(-1)^2+2^2*(-1)^3+3^2*(-1)^4=2*(2+1)\gdw6=6
[/mm]
Induktionsschluss (gilt für alle n)
[mm] \summe_{k=1}^{2n+3}k^2*(-1)^{k+1} [/mm] ... (und weiter?) |
Hallo erstmal. Hab die restlichen aufgaben soweit gelöst es hapert jetzt nurnoch an dieser und an nocheiner.
Den Induktionsanfang habe ich ohne probleme hinbekommen :
Zu Aufgabe 1
Jetzt stellt sich mir die frage ob das soweit richtig ist oder ob ich auf der absolut falschen fährte bin.
Zu Aufgabe 2
Hier bin ich mir absolut nicht sicher wie ich von [mm] -1^{n+1} [/mm] auf das Induktionsziel kommen soll.
Außerdem habe ich absolut keine Ahnung ob ich die Summenformel zurück auf $ 2n+3 $ oder auf $ n $ setzen soll und dann mit der Induktionsannahme weitermachen soll.
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Halllo Obikenobi,
>
> [mm]\produkt_{k=0}^{0}(1+x^{2^{0}}=\summe_{m=0}^{1}x^0+x^1\gdwx+1=x+1[/mm]
>
> Induktionsziel : [mm]\summe_{m=0}^{2^{n+1}-1}x^m[/mm]
>
> Induktionsschluss:
> [mm]\produkt_{k=0}^{(n+1)-1}\left(1+x^{2^{k}}\right) \ = \ \produkt_{k=0}^{n}\left(1+x^{2^{k}}\right) \ = \ \left(1+x^{2^{n}}\right)\cdot{}\produkt_{k=0}^{n-1}\left(1+x^{2^{k}}\right) \ \overbrace{=}^{i.A.} (1+x^{2^{n}})*\summe_{m=0}^{2^n-1}=x^m[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=1}^{2n+1}k^2*(-1)^{k+1}=(n+1)(2n+1)[/mm]
>
> Induktionsanfang A(1):
>
> [mm]\summe_{k=1}^{3}1^2*(-1)^2+2^2*(-1)^3+3^2*(-1)^4=2*(2+1)\gdw6=6[/mm]
>
> Induktionsschluss (gilt für alle n)
> [mm]\summe_{k=1}^{2n+3}k^2*(-1)^{k+1}[/mm] ... (und weiter?)
>
> Hallo erstmal. Hab die restlichen aufgaben soweit gelöst
> es hapert jetzt nurnoch an dieser und an nocheiner.
>
>
> Den Induktionsanfang habe ich ohne probleme hinbekommen :
>
> Zu Aufgabe 1
> Jetzt stellt sich mir die frage ob das soweit richtig ist
> oder ob ich auf der absolut falschen fährte bin.
>
Das ist soweit richtig.
Zu zeigen ist noch, daß der Ausdruck hinter dem letzten Gleichheitszeichen
beim Induktionsschluss dem Induktionsziel entspricht.
> Zu Aufgabe 2
> Hier bin ich mir absolut nicht sicher wie ich von [mm]-1^{n+1}[/mm]
> auf das Induktionsziel kommen soll.
> Außerdem habe ich absolut keine Ahnung ob ich die
> Summenformel zurück auf [mm]2n+3[/mm] oder auf [mm]n[/mm] setzen soll und
> dann mit der Induktionsannahme weitermachen soll.
Zerlege wie folgt:
[mm]\summe_{k=1}^{2n+3}k^2*(-1)^{k+1}=\summe_{k=1}^{2n+1}k^2*(-1)^{k+1}+\summe_{k=2n+2}^{2n+3}k^2*(-1)^{k+1}=\left(n+1\right)*\left(2n+1\right)+\summe_{k=2n+2}^{2n+3}k^2*(-1)^{k+1}[/mm]
Gruss
MathePower
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Hi. Danke dafür erstmal. Hab Aufgabe 1 nun auch gelöst.
Kannst du mir nur kurz erklären aufgrund von welchen "regeln" aus
[mm] \summe_{m=0}^{2^n+1}x^m=\bruch{x^{2^{n+1}}-1}{x-1} [/mm] wird?
Dein Zerlegen Tipp :
$ [mm] \summe_{k=1}^{2n+3}k^2\cdot{}(-1)^{k+1}=\summe_{k=1}^{2n+1}k^2\cdot{}(-1)^{k+1}+\summe_{k=2n+2}^{2n+3}k^2\cdot{}(-1)^{k+1}=\left(n+1\right)\cdot{}\left(2n+1\right)+\summe_{k=2n+2}^{2n+3}k^2\cdot{}(-1)^{k+1} [/mm] $
Hat mich leider nicht weitergebracht außer das ich es jetzt hübsch abgeschrieben hab...
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Hallo ObiKenobi,
> Hi. Danke dafür erstmal. Hab Aufgabe 1 nun auch gelöst.
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> Kannst du mir nur kurz erklären aufgrund von welchen
> "regeln" aus
> [mm]\summe_{m=0}^{2^n+1}x^m=\bruch{x^{2^{n+1}}-1}{x-1}[/mm] wird?
>
Das ist die Summenformel für eine endliche geometrische Reihe.
> Dein Zerlegen Tipp :
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> [mm]\summe_{k=1}^{2n+3}k^2\cdot{}(-1)^{k+1}=\summe_{k=1}^{2n+1}k^2\cdot{}(-1)^{k+1}+\summe_{k=2n+2}^{2n+3}k^2\cdot{}(-1)^{k+1}=\left(n+1\right)\cdot{}\left(2n+1\right)+\summe_{k=2n+2}^{2n+3}k^2\cdot{}(-1)^{k+1}[/mm]
>
> Hat mich leider nicht weitergebracht außer das ich es
> jetzt hübsch abgeschrieben hab...
Schreib das doch mal aus:
[mm]\left(n+1\right)\cdot{}\left(2n+1\right)+\summe_{k=2n+2}^{2n+3}k^2\cdot{}(-1)^{k+1}=\left(n+1\right)\cdot{}\left(2n+1\right)-\left(2n+2\right)^{2}+\left(2n+3\right)^{2}[/mm]
Fasse jetzt den rechtsstehenden Ausdruck zusammen und faktorisiere diesen.
Gruss
MathePower
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Wie wird daraus einfach so das da :
[mm] $\left(n+1\right)\cdot{}\left(2n+1\right)-\left(2n+2\right)^{2}+\left(2n+3\right)^{2} [/mm] $
Mir erschließt sich grade ncih wie man [mm] k²*(-1)^{k+1} [/mm] einfach so schreiben kann. Hät gewusst dass man das einfach so schreiben kann wär ich sofort auf die lösung gekommen... -.-
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Hallo ObiWan,
>
> Wie wird daraus einfach so das da :
>
> [mm]\left(n+1\right)\cdot{}\left(2n+1\right)-\left(2n+2\right)^{2}+\left(2n+3\right)^{2}[/mm]
>
> Mir erschließt sich grade ncih wie man [mm]k²*(-1)^{k+1}[/mm]
Da steht doch [mm]k^{\red{2}}\cdot{}(-1)^{k+1}[/mm]
> einfach so schreiben kann. Hät gewusst dass man das
> einfach so schreiben kann wär ich sofort auf die lösung
> gekommen... -.-
Na, du betrachtest ja im Induktionsschritt die Summe von [mm]k=0[/mm] bis [mm]k=2n+3[/mm]
Diese spaltest du auf in die Summe von [mm]k=0[/mm] bis [mm]k=2n+1[/mm] und die beiden Summanden für [mm]k=2n+2[/mm] und [mm]k=2n+3[/mm]
Das hat Mathepower ja gemacht.
Die Summe von [mm]k=0[/mm] bis [mm]k=2n+1[/mm] kannst du dann gem. Induktionsvoraussetzung ersetzen durch [mm](n+1)(2n+1)[/mm]
Die beiden anderen Summenden schreibe mal hin.
Setze mal [mm]k=2n+2[/mm] bzw. [mm]k=2n+3[/mm] ein, das ergibt genau die Summanden
[mm](2n+2)^2\cdot{}(-1)^{\overbrace{2n+3}^{\text{ungerade}}}=\red{-}(2n+2)^2[/mm] bzw. [mm](2n+3)^2\cdot{}(-1)^{\overbrace{2n+4}^{\text{gerade}}}=\red{+}(2n+3)^2[/mm]
Dann hast du - wie oben steht [mm](n+1)(2n+1)-(2n+2)^2+(2n+3)^2[/mm]
Hier ausmultiplizieren, zusammenfassen und [mm](n+2)[/mm] ausklammern (Polynomdivision)
Darauf kommt man, wenn man sich klar macht, dass man ja zu [mm]...=(n+2)(2n+3)[/mm] gelangen möchte ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 Mo 09.01.2012 | | Autor: | ObiKenobi |
Oh gott. Wie offensichtlich -.-
Danke...
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