Induktionsaufgabe < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Sa 23.04.2005 | | Autor: | BoomBoom |
Hallo und Guten morgen"!
<<ich habe diese Frage auf keiner weiteren Internetseite gestellt>>
ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe, bei der ich nicht weiter komme:
Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass für alle k,n [mm] \in \IN; [/mm] k [mm] \le [/mm] n gilt:
[mm] \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm] = [mm] \summe_{m=k}^{n} \vektor{m \\ k}
[/mm]
Also muss man da nicht mit den beiden Variablen k und n eine Induktion machen? Aber mein Problem ist ich weiß nicht genau wie ich das mit 2 Varibalem machen müsste?
Ich würde mir jetzt denken, dass man erst Induktion nach n und dann nach k macht:
Bei der Induktion nach n komme ich noch zum Ziel, aber die Induktion nach k bekomme ich nicht mehr hin:
Induktion nach n
Induktionsanfang ist richtig.
Induktionsschritt:
[mm] \vektor{n+2 \\ k+1} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm] + [mm] \vektor{n+1 \\ k}
[/mm]
jetzt benutzt man die Induktionsvoraussetzung: [mm] \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm] = [mm] \summe_{m=k}^{n} \vektor{m \\ k}
[/mm]
womit folgendes zustande kommt:
[mm] \summe_{m=k}^{n} \vektor{m \\ k}+ \vektor{n+1 \\ k}= \summe_{m=k}^{n+1}\vektor{m \\ k}
[/mm]
Induktion nach k
Induktionsanfang ist wieder richtig.
Induktionsschritt:
[mm] \vektor{n+1\\ k+2}= \vektor{n+2 \\ k+2}- \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm]
So und hier komme ich dann auch nach mehreren Überlegungen nicht weiter.. wenn ich die Induktionsvorraussetzung anwende weiß ich nicht wie ich weiter machen soll...
schöne grüße,
BoomBoom
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Hallo BoomBoom,
> Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass
> für alle k,n [mm]\in \IN;[/mm] k [mm]\le[/mm] n gilt:
>
> [mm]\vektor{n+1 \\ k+1}[/mm] = [mm]\summe_{m=k}^{n} \vektor{m \\ k}[/mm]
>
> Also muss man da nicht mit den beiden Variablen k und n
> eine Induktion machen?
Nicht unbedingt da [mm]k \le n [/mm] solltest Du den Induktionsanfang auf k=n setzen wobei k beliebig wäre.
Der Induktionsschritt sieht richtig aus.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 So 24.04.2005 | | Autor: | BoomBoom |
Hallo mathemaduenn,
danke für deine Antwort!
würde der Induktionsanfang dann so aussehen?:
also für k=n:
[mm] \vektor{n+1 \\ n+1}=1 [/mm] und [mm] \summe_{m=b}^{n} \vektor{m \\ k}= \vektor{n \\ n}=1,
[/mm]
und beim Induktionsschritt brauche ich dann nur von n auf n+1 zu schließen, wie ich es schon geschrieben habe und dann ist es schon bewiesen?
So kann man also für beliebiges k jedes n mit n [mm] \ge [/mm] k wählen, da man ja (im Induktionsschritt) bewiesen hat, dass der Ausdruck für k=n richtig ist und man auch auf n+1 und damit auf alle n [mm] \ge [/mm] k schließen kann.
Ist die erklärung richtig?
schöne grüße,
BoomBoom
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 So 24.04.2005 | | Autor: | BoomBoom |
hallo Loddar,
danke für deine Antwort!
wir haben also zwei Unterschiedliche Anfänge:
1) k=n und
2) n=k
bei 1) weist man dem k das n zu. Somit belegt man den Wert von k mit n und beweist dann, dass der Ausdruck für jedes n mit diesem k richtig ist.
(Allerdings muss man sich dazu zuerst das n überlegen..)
Oh,.. jetzt glaube ich fällt mir mein Denkfehler auf... wenn wir den Wert von k mit n belegen setzten wir zuerst einen Wert für n fest.
In 2) dagegen, überlegen wir uns zunächst einen Wert für k, weisen dem n, diesen Wert zu und beweisen dann im Induktionsschritt, dass der Ausdruck für dieses k mit jedem größere n wahr ist.
also so würde ich mir das jetzt erklären... ist das so richtig?
schöne grüße...
BoomBoom
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:57 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen BoomBoom!
> In 2) dagegen, überlegen wir uns zunächst einen Wert für k,
> weisen dem n, diesen Wert zu und beweisen dann im
> Induktionsschritt, dass der Ausdruck für dieses k mit jedem
> größere n wahr ist.
>
> also so würde ich mir das jetzt erklären... ist das so
> richtig?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Nach meinem Verständnis ist $n$ die Variable, für die wir unseren Induktionsnachweis durchführen.
Daher müssen wir für diese Variable auch einen Induktionsanfang (mit $n \ = \ k$) sowie den Induktionsschritt ($n \ [mm] \rightarrow [/mm] \ n+1$) "berechnen".
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Mo 25.04.2005 | | Autor: | BoomBoom |
Hallo Loddar,
jup.. ok.. danke habs verstanden..
schöne Grüße
BoomBoom
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
erfüllt.
