Induktion x<y < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 Di 03.11.2009 | | Autor: | IrisL. |
| Aufgabe | Sei K ein Körper. Beweisen sie für x,y>0
x<y [mm] \Rightarrow \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] x^{n} [/mm] < [mm] y^{n}
[/mm]
durch vollständige Induktion. |
Induktionsanfang: Wähle x,y beliebig aber fest.
x<y [mm] \Rightarrow x^{1} [/mm] < [mm] y^{1} [/mm] nach Voraussetzung
Induktionsannahme: A(n) [mm] \Rightarrow [/mm] A(n+1)
Induktionsschluss:
[mm] x^{n+1} [/mm] < [mm] y^{n+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x^{n} [/mm] * x < [mm] y^{n} [/mm] * y
[mm] x^{n} [/mm] < [mm] y^{n} [/mm] nach Induktionsanfang
x < y nach Voraussetzung, also ist das Prdoukt auch kleiner
Habe ich hier einen Denkfehler?
Danke und Gruß
Iris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Di 03.11.2009 | | Autor: | statler |
Hallo Iris!
> Sei K ein Körper. Beweisen sie für x,y>0
K soll natürlich ein angeordneter Körper sein. Und zu den Anordnungsaxiomen gehört so etwas wie
x > y, a > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] ax > ay
Das brauchst du unten.
> x<y [mm]\Rightarrow \forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] : [mm]x^{n}[/mm] < [mm]y^{n}[/mm]
>
> durch vollständige Induktion.
> Induktionsanfang: Wähle x,y beliebig aber fest.
In Mathe-Sprech heißt das: Seien x und y [mm] \in [/mm] K. Solange ich dann innerhalb dieser Aufgabe die gleichen Buchstaben verwende, sind es auch die gleichen Elemente (also in dem Sinne fest).
> x<y [mm]\Rightarrow x^{1}[/mm] < [mm]y^{1}[/mm] nach Voraussetzung
Klar!
> Induktionsannahme: A(n) [mm]\Rightarrow[/mm] A(n+1)
Das ist schon der Induktionsschluß! Die Annahme ist: Sei A(n) wahr.
> Induktionsschluss:
> [mm]x^{n+1}[/mm] < [mm]y^{n+1}[/mm]
Das ist jetzt die Aussage A(n+1), deren Wahrheit du zeigen willst.
> [mm]\Rightarrow x^{n}[/mm] * x < [mm]y^{n}[/mm] * y
Du bist jetzt in der falschen Richtung unterwegs. Es geht vom Wahren zum Zu-beweisenden. Ich schlage vor, daß du das zu Trainingszwecken noch einmal selbst versuchst und dich mit deiner Lösung hier meldest.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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