Induktion oder Beweis? < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Di 27.10.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei [mm] N_{a,b}=\{a+n*b:n\in \IZ\}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass folgendes gilt:
[mm] N_{a,b}=\IZ\setminus\bigcup_{l=1}^{b-1} N_{a+l,b} [/mm] |
Tag Leut,
wie könnt ich hier am besten vorgehn, um die Gleichheit nachzuweisen? Per Induktion erscheint mir am sinvollsten, aber ich weiß nicht recht wie ich da rangehen soll, damit was vernünftiges dabei raus kommt. Oder ist hier ein anderer Beweis besser? Ich bin für jeden Vorschalg offen. Danke schon mal.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Di 27.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]N_{a,b}=\{a+n*b:n\in \IZ\}.[/mm]
> Zeigen Sie, dass folgendes
> gilt:
>
> [mm]N_{a,b}=\IZ\setminus\bigcup_{l=1}^{b-1} N_{a+l,b}[/mm]
> Tag
> Leut,
> wie könnt ich hier am besten vorgehn, um die Gleichheit
> nachzuweisen?
Nimm ein Element aus [mm] $N_{a,b}$ [/mm] und zeige, dass es in keinem [mm] $N_{a+\ell,b}$ [/mm] mit $1 [mm] \le \ell \le [/mm] b - 1$ liegt.
Umgekehrt nimm ein Element aus [mm] $\IZ$ [/mm] was in keinem [mm] $N_{a+\ell,b}$ [/mm] liegt mit $1 [mm] \le \ell \le [/mm] b - 1$. Zeige dann, dass es in [mm] $N_{a,b}$ [/mm] liegt.
> Per Induktion erscheint mir am sinvollsten,
Ich denke eher nicht...
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Di 27.10.2009 | | Autor: | kegel53 |
Könntest du bei der zweiten Richtung etwas Starthilfe geben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:11 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Könntest du bei der zweiten Richtung etwas Starthilfe
> geben?
Sei $z [mm] \in \IZ \setminus \bigcup_{\ell=1}^{b-1} N_{a+\ell,b}$. [/mm] Betrachte nun $t := z - a$: du musst zeigen, dass $t$ durch $b$ teilbar ist. Du weisst, dass $z - (a + 1), z - (a + 2), [mm] \dots, [/mm] z - (a + b - 1)$ nicht durch $b$ teilbar sind.
LG Felix
|
|
|
|
