Induktion mit Ungleichung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Mi 22.11.2006 | | Autor: | gore |
| Aufgabe | | A(n): [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^2} \le [/mm] 2 - [mm] \bruch{1}{n}, n\ge2 [/mm] |
Hi,
ich muss obige Ungleichung mit Induktion beweisen. Und ich stecke im Induktionsschritt... (wo auch sonst? :/ ).
Ich habe also bisher:
Beh.: A(n): [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^2} \le [/mm] 2 - [mm] \bruch{1}{n}, n\ge2
[/mm]
Bew. mit Induktion nach n:
IA:
A(2) = [mm] \bruch{1}{1^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^2}=\bruch{5}{4} \le \bruch{3}{2} [/mm] = 2- [mm] \bruch{1}{2^2}
[/mm]
A(2) ist wahr.
IV:
Beh. gilt für ein [mm] n\in\IN.
[/mm]
IS:
n [mm] \to [/mm] n+1
z.z.: [mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k^2} \le [/mm] 2 - [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)^2} \le [/mm] 2 - [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
...so, und hier hänge ich. Ziemlich früh, aber ich weiß nicht, wie ich darauf komme, das mit n+1 zu zeigen :(
Kann mir veilleicht jemand einen Tipp geben?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Mi 22.11.2006 | | Autor: | wimajoe |
Das ganze ist eigentlich recht einfach:
Also zunächt addierst du die Ungleichung mit [mm] \bruch{-1}{n}
[/mm]
Dann kannst du auf einen Teil die Induktionsvorraussetzung anwenden:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{k^{2}} \le [/mm] 2 - [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
gilt ja (induktionsannahme)
den Rest, also [mm] \bruch{1}{(n-1)^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n} \le [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
diese ungleichung ist wirklich einfach zu zeigen, fertig.
viel spaß damit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Mi 22.11.2006 | | Autor: | wimajoe |
Entschuldige, es heißt ja
[mm] \bruch{1}{(n+1)^2}, [/mm] nicht [mm] \bruch{1}{(n-1)^2}
[/mm]
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