Induktion mit Binomialkoe < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Mi 23.04.2014 | | Autor: | Hero991 |
| Aufgabe | Zeigen Sie mittels Induktion: [mm] \summe_{k=0}^{m} \vektor{n+k \\ n} [/mm] = [mm] \vektor{n+m+1 \\ n+1} [/mm] n,m [mm] \in \IN
[/mm]
Überlegen sie Vorher über welche Variable die Induktion durchgeführt werden soll. |
Hallo,
ich bräuchte für die Aufgabe da oben eine Idee bzw. einen Tipp weil ich da nicht weiterkomme.
Ich habe bisher folgendes:
Induktionsanfang: k=0
[mm] \vektor{n+k \\ n} [/mm] = [mm] \bruch{(n + 0)!}{n! * 0!} [/mm] = 1
Induktionsschritt: Für k+1
[mm] \bruch{(n + k + 1)!}{n! * (k+1)!} [/mm]
Hier komme ich nicht mehr weiter weil ich nicht weiß wie den Bruch verändern soll um auf die Induktionsvoraussetzung zu kommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Mi 23.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
leider hast du den Hinweis völlig missverstanden.
Es soll eine Aussage A(n,m) für alle natürlichen Zahlen n und m durch Induktion gezeigt werden.
Du kannst jetzt entweder für beliebiges festes [mm] m=m_0 [/mm] durch Induktion nach n zeigen, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] die Aussage [mm] A(n,m_0) [/mm] richtig ist, oder du gehst umgekehrt vor (für festes [mm] n=n_0 [/mm] wird [mm] A(n_0,m) [/mm] durch Induktion über m gezeigt).
k ist eine Laufvariable, diese taugt als Induktionsvariable überhaupt nicht !
Vielleicht probierst du beide Versionen, da in der Formel nur zwei m's aber vier n's vorkommen, scheint Induktion nach m auf den ersten Blick besser geeignet (auf den zweiten auch noch, wenn man berücksichtigt, wo diese Variablen stehen).
Versuche also zu zeigen, dass für beliebige [mm] n_0 \in \IN [/mm] die Aussage
"Für alle m [mm] \in \IN [/mm] ist $ [mm] \summe_{k=0}^{m} \vektor{n_0+k \\ n_0} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{n_0+m+1 \\ n_0+1} [/mm] $ "
gilt.
Gruß Sax.
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